Eine Parabel 4. Ordnung ist symmetrisch zur y-Achse und hat in \(W_1(\red{1}|2)\) einen Wendepunkt dessen Wendetangente durch den Ursprung verläuft .
Durch die Symmetrie ist auch \(W_2(-1|2)\) ein Wendepunkt.
Ich verschiebe nun die Wendepunkte um \(\blue{2}\) Einheiten nach unten:
\(W_1(1|2)\)→ \(W´_1(1|0)\) und \(W_2(-1|2)\)→\(W´_2(-1|0)\) Es sind nun 2 einfache Nullstellen vorhanden. Weiter mit der Linearfaktorenform der Parabel 4. Ordnung.
\(f(x)=a[(x-1)(x+1)(x-N)(x+N)]\\=a[(x^2-1)(x^2-N^2)]\\=a[x^4-N^2x^2-x^2+N^2]\)
An der Stelle \(x=\red{1}\) ist ein Wendepunkt → 2.Ableitung
\(f'(x)=a[4x^3-2N^2x-2x]\)
\(f''(x)=a[12x^2-2N^2-2]\)
\(f''(1)=a[12-2N^2-2]=a[10-2N^2]=0\)
\(N^2=5\)
\(f(x)=a[x^4-6x^2+5]\)
Berechnung der Steigung der Wendetangente. Sie geht durch den Ursprung und durch \(W_1(1|2)\)
\(m=\green{2}\) 1. Ableitung ist nun wichtig.
\(f'(x)=a[4x^3-10x-2x]=a[4x^3-12x]\)
\(f'( \red{1})=a[4-12]=-8a\)
\(-8a=\green{2}\)
\(a=-0,25\)
\(f(x)=-0,25(x^4-6x^2+5)\)
Nun wird der Graph von \(f\) um \(\blue{2}\) Einheiten nach oben verschoben und erhält \(p\) als Namen.
\(p(x)=-0,25(x^4-6x^2+5)+2\)
