Verständnisfrage isolierte Singularität

Question

ich habe eine Frage zur Definition des Begriffs der isolierten Singularität.

In unserem Skript steht

$$\text{ Es sei } D \subset \mathbb{C} \text{ offen und } z_{0} \in D. z_0 \text { heißt isolierte Singularität von }$$

$$f: D \setminus {z_{0}} \rightarrow \mathbb{C} \text{ wenn f holomorph ist}$$

Meine Frage nun: nach dieser Definition könnte ich doch nun einfach auch bei einer ganzen Funktion wie etwa

$$f: \mathbb{C} \rightarrow \ \mathbb{C}: z \mapsto z$$

ein Element aus dem Definitionsbereich rausnehmen und könnte jedes c aus C als isolierte Singularität wählen, aber das macht ja keinen Sinn. Wo liegt mein Denkfehler ? Finde ich in obigem unsinnigen Beispiel eventuell immer eine holomorphe Fortsetzung, und wenn ja, wie ?

LG

Answer 1

Hallo es gehört dazu, dass f mit z0 nicht holomorph ist, dass in z0 also wirklich eine Singularität ist.  und NUR  f  für D/z0 holomorph ist

Gruß lul

Comments

Ah so macht das Sinn! Vielen Dank!