Singularität der komplexen Funktion

Question

Aufgabe:

Gesucht sind die Singularitäten der komplexen Funktion:

f(z)=(e^iαz)/(sinh(z))

α∈ℂ

als Hinweis wird die Regel von l'hopital angegeben

Problem/Ansatz:

Für die Singularität hab ich z=0 bekommen,aber wie hilft mir die Regel von l'hopital jetzt weiter, hebbar ist die Singularität ja nicht. Kann mir da jemand weiterhelfen?

Comments

WWenn a komplex ist, ist der Faktor i witzlos. Also die Frage: Ist das korrekt abgeschrieben oder gehört das zu einem größeren Problem.

Der sinh hat weiter Nullstellen.

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Zusätzlich soll man unter Verwendung des Residuensatzes das Integral über die geschlossene Kurve(ΙzΙ=1) berechnen

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Um das Residuum zu bestimmen, musst Du wissen, um welchen Typ von Singularität es sich handelt. Bei beidem (Typ und Residuum) kann man l'H verwenden - je nachdem wie man es anpackt.

Also: Wie stellst du fest, um welche Singularität es sich handelt? Wie kann man dann das Residuum berechnen?

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Ich hätte gesagt, da sich der Limes von +/-0 unterscheidet, ist es eine wesentliche Singularität.

ich hätte jetzt was gefunden, wenn

f(z)=g(z)/h(z)

a_1=g(z0)/h'(z0)

da komme ich dann auf a_1=1

Stimmt das so?

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Hallo,

die Formel stimmt. Allerdings verstehe ich nicht, wie Du im gleichen Atemzug auf "wesentliche Singularität" kommen kannst??

Ich fasse das mal in einer Antwort zusammen

Gruß Mathhilf

Answer 1

Also wir haben

$$f(z):=\frac{g(z)}{h(z)}, \quad g(z):=\exp(iaz), \quad h(z):=\sinh(z)$$

Es geht um ein Integral über den Einheitskreis, also spielt nur die Singularität bei \(v:=0\) eine Rolle. Wir haben

$$g(v)=1 \neq 0, \quad h(v)=\sinh(0)=0, \quad h'(0)=1 \neq 0$$

Daher hat h eine Nullstelle der Ordnung 1 und damit f einen Pol der Ordnung 1. Das Residuum lässt sich nach folgender Formel berechnen:

$$\lim_{z \to v}(z-v)f(z)=g(v) \lim_{z \to 0}\frac{z}{h(z)}=g(0)\frac{1}{h'(0)}=1$$

Beim vorletzten Gleichheitszeichen wendet man l'Hospital an, allerdings scheint Ihr das nach Deinem Kommentar schon als fertige Formel eingeführt zu haben.

Gruß Mathhilf