Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel, die die Flugbahn beschreibt.

Question

Aufgabe: "Die Flugbahn der Kugel beim Kugelstoßen lässt sich mithilfe einer parabelförmigen Funktion beschreiben. Die Kugel verlässt bei einer Höhe von 1,5 Metern die Hand und trifft nach 8 Metern wieder auf den Boden. Ein Meter nach Abwurf hat die Kugel eine Höhe von 3 Metern erreicht."

a) Bestimme die Funktionsgleichung, die die Flugbahn der Parabel beschreibt. [Zur Kontrolle: f(x)= -27/112x^2 + 195/112x + 1,5]

Problem/Ansatz:

Hallo, mein Problem mit dieser Aufgabe ist, dass ich nicht weiß, wie man aus den angegebenen Werten die Funktionsgleichung errechnet. Wäre der Scheitelpunkt gegeben, würde ich das hinbekommen, ist er aber leider nicht. Nach Recherche im Internet habe ich probiert, die drei Punkte einzusetzen und im Anschluss das lineare Gleichungssystem zu lösen, jedoch haben wir so etwas nie im Unterricht besprochen und ich bekomme auch kein "vernünftiges" Ergebnis heraus.

Eine Antwort würde mir sehr weiterhelfen.

Vielen Dank
Max

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Titel eingedeutscht

Answer 1

die drei Punkte einzusetzen und im Anschluss das lineare Gleichungssystem zu lösen

Das ist der richtige Weg.

Das Gleichungssystem lautet

(1)        a·0² + b·0 + c = 1,5    (wegen des Punktes (0 | 1,5) auf der Parabel)
(2)        a·8² + b·8 + c = 0    (wegen des Punktes (8 | 0) auf der Parabel)
(3)        a·1² + b·1 + c = 3    (wegen des Punktes (1 | 3) auf der Parabel)

weil die Normalform einer quadratischen Funktion

        f(a) = ax² + bx + c

lautet.

Aus Gleichung (1) ergibt sich c = 1,5. Einsetzen in (2) und (3) ergibt

(4)        a·8² + b·8 + 1,5 = 0
(5)        a·1² + b·1 + 1,5 = 3

was sich umschreiben lässt zu

(6)        64a + 8b = -1,5
(7)        a + b = 1,5

Gleichung (7) nach b auflösen

(8)        b = 1,5 - a

und in (6) einsetzen

(9)        64a + 8(1,5 - a) = -1,5.

Nach a auflösen und in (8) einsetzen.

haben wir so etwas nie im Unterricht besprochen

Lineare Gleichungssystem werden normalerweise in Klasse 7 oder 8 besprochen.

Dass man in Funktionsgleichungen Punkte einsetzen kann ebenfalls.

Wie die Normalform einer quadratischen Funktion aussieht, hast du wahrscheinlich kürzlich gelernt.

Diese drei Dinge muss man jetzt nur noch zu einem Ganzen zusammensetzen. Zugegeben, es ist nicht einfach, auf den Lösungsweg zu kommen, wenn das im Unterricht noch nicht vorgemacht wurde. Aber alle Teile des Lösungsweges waren schon da.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Answer 2

Setze (0|1,5), (1|3) und (8|0) in

f(x)=ax²+bx+c ein. Löse also das Sysrem:

3=a+b+1,5

0=84a+8b+1,5.