Integralrechnung, Tangente bestimmen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: Der Graph von f mit f(x) = x², die Tangente an f in P (a/f(a)) und die y-Achse begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A=1/3a² 

Problem/Ansatz:

Ich weiß, wie ich die Tangente ermittle und wie ich auch das Intervall bestimme, nämlich in dem ich die Parabel und die Tangente gleichsetze aber ich komme einfach nicht auf A.

Answer 1

\(\begin{aligned} f'(a) & =2a\\ t(x) & =2a(x-a)+a^{2} & \text{(Punkt-Steigungsform)}\\ & =2ax-a^{2}\\ A & =\int_{0}^{a}\left(f(x)-t(x)\right)\text{d}x\\ & =\int_{0}^{a}\left(x^{2}-\left(2ax-a^{2}\right)\right)\text{d}x\\ & =\int_{0}^{a}\left(x^{2}-2ax+a^{2}\right)\text{d}x\\ & =\left[\frac{1}{3}x^{3}-ax^{2}+a^{2}x\right]_{0}^{a}\\ & =\frac{1}{3}a^{3}-aa^{2}+a^{2}a\\ & =\frac{1}{3}a^{3} \end{aligned}\)

Answer 2

Beweisen Sie: Der Graph von f mit f(x) = x^2, die Tangente an f in P (a/f(a)) und die y-Achse begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A=1/3a^2

Könntest du in der Aufgabenstellung mal schauen ob das am ende 1/3*a^3 lautet? Wenn ja dann sollte das wie folgt aussehen:

f(x) = x^2
f'(x) = 2·x

Tangente an der Stelle a
t(x) = f'(a)·(x - a) + f(a)
t(x) = 2·a·(x - a) + a^2
t(x) = 2·a·x - a^2

Differenzfunktion
d(x) = f(x) - t(x) = x^2 - (2·a·x - a^2)
d(x) = x^2 - 2·a·x + a^2
D(x) = 1/3·x^3 - a·x^2 + a^2·x

A = ∫ (0 bis a) d(x) dx = D(a) - D(0) = 1/3·a^3 - a·a^2 + a^2·a = 1/3·a^3

Answer 3

Hallo

A hat die Koordinaten (a,a^2) die Tangente die Steigung 2a und geht durch (a,a^2) daraus  dann die Tangentengleichung y=2ax-a^2 (bitte nachrechnen)

Was du mit dem Intervall sagst verstehe ich nicht, gleichsetzen weisst du doch schon den Punkt A als Ergebnis? mach ne Skizze um zu sehen, welche Fläche du bestimmen sollst .

Gruß lul

Answer 4

f(x)=x²

f'(x)=2x  f'(a)=2a

g(a) = g(0)+2a*a=a*a

g(0)= - \(a^{2} \)

g(x) = - \(a^{2} \) +2a*x

f(x)-g(x)= \(x^{2} \)-2ax+\(a^{2} \)

\( \int\limits_{0}^{a} \) \(x^{2} \)-2ax+\(a^{2}dx \)

= \( \frac{1}{3} \)\( x^{3} \)-a\( x^{2} \)+\( a^{2} \) \( \left. x \right|_0^a \)

= \( \frac{1}{3} \)\( a^{3} \)= A

Die Vorlage war falsch!