Auf wie viele Arten ist es möglich, drei Quadrate zu umranden?

Question

Das Set aus 12 senkrechten und zwölf waagerechten Strecken gleicher Länge

soll vollständig dazu verwendet werden, 3 Quadrate zu umranden (die Quadrate dürfen sich überlappen, die Strecken dürfen sich nicht kreuzen). Auf wie viele Arten ist das möglich?

Comments

Soll dann jedes einzelne Quadrat umrandet sein, was bedeuten würde dass die Quadrate wenn, nur vollständig übereinander gelegt werden dürften. Oder reicht es, das Bild zu umranden, das entsteht, wenn die Quadrate aufeinander oder nebeneinander gelegt werden.

Ist das Rechteck schon eine Umrandung der Striche, oder soll die Umrandung deckungsgleich mit den Seiten der Quadrate sei

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Zwei Beispiele, wie das gemeint ist:

Oben mit Überschneidung, unten ohne Überschneidung.

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Wenn ich mir Szreichhölzer denke und ein großes 3×3 Quadrat bilde und dann die obere, linke Ecke eindrücke die beiden Streichhölzer also nach rechts bzw. unten verschiebe, dann würden 3 Quadrate da rein passen. Wenn ich statt dessen die rechte Ecke eindrücke, passen da auch drei Quadrate rein, ist das eine weitere Lösung?

Wenn ich 3 einzelne Quadrate bilde und diese verschiebe ist es dann eine Lösung oder sind es je nach Lage unterschiedliche Lösungen? Ist es eine Lösung oder sind es unendlich viele Lösungen oder müssen die Quadrate sich berühren und sind es dann unterschiedöiche Lösungen, je nachdem wo sie sich berühren. Da ich die Quadrat nicht unterscheiden kann, denke ich mir eins in die Mitte, dann gäbe es 6 Möglichkeiten, die anderen 2 daran zu legen.

Wenn ich vom großen 3×3 Quadrat zwei Ecken eindrücke, ist es dann eine Lösung oder ist jede Kombination eine Lösung?

Ist es eine Lösung oder sind es 6 Lösungen

3 Quadrate könnte ich da ja auch reinlegen

Wenn ich 3 Ecken eindrücke, dann könnte ich ja auch 3 Quadrate da rein legen.

Ist das eine Lösung oder sind es 4 Lösungen?

Ich fasse mal zusammen

1  an 0 Ecken eingedrücktes 3×3 Quadrat

4  an 1 Ecke eingedrückte 3×3 Quadrate

6 an 2 Ecken eingedrückte 3×3 Quadrate

4 an 3 Ecken eingedrückte 3×3 Quadrate

6 1×1 Quadrate

4 2×2 Quadrat plus 1×1Quadrat

Wenn die Streichhölzer nicht getrennt sein dürfen, komme ich auf 25 Möglichkeiten

Die Kombination aus Rechtecken schließe ich aus.

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In beiden Beispielen (siehe mein Kommentar) ist jedes der jeweils drei Quadrate von Strecken umrandet. In beiden Fällen wurden 12 senkrechte und 12 waagerechte Strecken benötigt.

Zeichne doch mal eine deiner vorgeschagenen Lösungen, damit ich verstehe, was du meinst.

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Ich denke ich habe mich klar ausgedrückt,

Doch bei mir sind nicht alle Quadrate umrandet dafür habe ich wie ich jetzt

feststelle aber noch einige Streichhölzer über.

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Was bedeutet z.B. "6 1×1 Quadrate". Wenn das "sechs 1×1-Quadrate" heißen soll, weise ich darauf hin, dass nur drei Quadrate umrandet werden sollen.

Answer 1

1A 6×6 Quadrat

12 A 5×5 Quadrat + 1×1 Quadrat

    1. FALL das Kleine liegt im Großen

      2 Arten : 2 große 1kleines ; 1g 2k

    2. FALL das Kleine liegt außerhalb

       10 Arten  2*5 2Kombinationen

                 5 Möglichkeiten frei , 4 Ecken

8 A 5×5 Quadrat + 2×2 Quadrat in den Ecken

       4 Ecken mal 2 Kombinationen =8 Arten

27 A 4×4 Quadrat + 2 1×1 Quadrate

       1. FALL beide kleinen liegen im großen

            a) Sie hängen an den Ecken                                 aneinander 4 Möglichkeiten

            b) sie liegen frei 1 Möglichkeiten

       2. Fall eins liegt innen eins draußen

           a ) Sie liegen frei 1 Möglichkeit

           b) außen liegt es an den Ecken

                4 Möglichkeiten

       3. FALL beide liegen außerhalb

            a) Sie liegen frei 1 Möglichkeit

            b) sie liegen frei vom großen aber                       an den Ecken miteinander                               verbunden. 4 Möglichkeiten

            c) beide hängen am großen

                3 +2+1=6 Möglichkeiten

            d ) eins am großen eins frei

                4 Möglichkeiten

            e) eins am großen aber zusammen

                 4*3 =12 Möglichkeiten

 10 A 3×3 Quadrat + 3×3 Quadrat

           10= 2 Kombi*  5 Möglichkeiten

20A 3×3 Quadrat +2×2 Quadrat + 2×2 Q

               4 innen * 5 außerhalb=

              20 Möglichkeiten

55A     3×3 Quadrat + 2×2 Q + 1×1 Q

      1. Fall 2×2Q in 3×3Q 1×1Q in 2×2Q

          1 Möglichkeiten

      2. Fall 2×2 Q in 3×3Q + 1×1Q außerhalb

            5 Möglichkeiten

      3. Fall 2×2Q und 1×1 Q an 3×3Q außen

           3*4=12 Möglichkeiten

       4. Fall 2×2Q an 3×3 Q, 1×1Q nicht

           4*4 = 16 Möglichkeiten

       5. Fall 1×1Q an 3×3 Q, 2×2Q nicht
          4*4 = 16 Möglichkeiten

        6. Fall keiner an 3×3Q

           5 Möglichkeiten

9A 2×2 Quadrat + 2×2Q +2×2Q

         1 Fall alle frei

             1 Möglichkeit

         2. Fall zwei verbunden

             2 Möglichkeiten

          3  Fall alle verbunden

             6 Möglichkeiten

Nun müssen die Arten nur noch addiert werden.

Ich komme auf 142 Arten.

Comments

Wenn du dich klar ausgedrückt hast, dann bin ich begriffsstutzig. Kannst du bitte

9A 2×2 Quadrat + 2×2Q +2×2Q

       1 Fall alle frei

          1 Möglichkeit

      2. Fall zwei verbunden

          2 Möglichkeiten

        3  Fall alle verbunden

          6 Möglichkeiten

graphisch umsetzen?

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Text erkannt:

\( 9 a \quad 1 . F \times 11 \quad 2 \frac{2}{17} \mathrm{BB} \) 田
3. Fall
$$ \begin{array}{l}7 \\ \frac{7}{4}\end{array} $$

Ich hoffe, dass es geklappt hat.

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Es sollen alle 24 Strecken verwendet weden, um damit jeweils genau drei Quadrate zu umranden.

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Hallo Roland

Das habe ich doch gemacht.

2*12=24 Strecken

Jedes 2×2 Quadrat hat

2+2= 4 senkrechre Strecken und

2+2= 4 waagerechte Strecken

Das sind zusammen 2*4 =8 Strecken.

Davon gibt es 3 Quadrate

Also 3*8 =24 Strecken gesamt.

(12 waagerechte, 12 senkrechte)

Es gibt neun Arten diese drei Quadrate anzuordnen, du hast mich gebeten das graphisch zu zeigen. Das habe ich gemacht.

Ich gebe aber zu, dass ich das bei den anderen Fällen noch verbal erklärt habe  darauf hatte ich verzichtet weil ich irrtümlich davon ausging, dass dies System erkennbar sei.

Gut, als hole ich es jetzt nach.

1.Gattung

Die Quadrate liegen frei. Nun gibt es natürlich unzählige Möglichkeiten, doch dies ist für mich eine Art.

2. Gattung

Zwei Quadrate hängen an den Ecken zusammen.  Sicher gibt es wieder unzählige Möglichkeiten der Lage, darum werde ich das im Folgenden auch nicht erwähnen, doch es gibt, da die Quadrate nicht unterscheidbar sind nur 2 Arten, wie sie zusammen hängen können, denn Semkrechte sollen ja Senkrechte und Waagerechte Waagerechte bleiben . Sie dürfen ja nicht verdreht werden. Die eine Art besteht darin, dass ein Quadrat links Oben und das andere rechts Unten ist.

Die zweite Art ein Quadrat ist rechts Oben, das zweite links Unten.

3. Gattung

Die drei Quadrate hängen alle zusammen. Da gibt es dann 6 grundsätzlich verschiedene Arten der Verbindung.

Wenn 3 Quadrate an den Ecken verbunden sind, liegt eins immer in der Mitte.

Darum betrachte ich nur die beiden äußeren Quadrate.

Eins liegt links Oben, für das zweite gibt es dann 3 Möglichkeiten der Lage.

Eins liegt rechts Oben, jetzt gibt es für das zweite nur noch 2 zusätzliche Möglichkeiten.

Eins liegt rechts Unten, es bleibt nur noch eine Möglichkeit übrig

Das sind also 3+2+1= 6 verschiedene Arten 3 Quadrate miteinander zu verbinden.

Für 3 Quadrate gibt es 3 Gattungen sie zusammen zu fügen. In jeder Gattung gibt es die von mir gezeigte Anzahl der Arten.

n1(G1)=1   ;  n2(G2)= 2  ;  n3(G3)=6

N(3Q)= \( \sum\limits_{k=1}^{3}{nk(Gk)} \)=1+2+6=9

Es gibt also 9 Arten 3, aus jeweils 8 Strecken gebildete, Quadrate so aneinander zu legen, so dass sie die vorgegebenen Quadrate umschließen.

Weil ich denke, dass es etwas deutlicher wurde, habe ich den Begriff Fall, durch den Begriff Gattung ersetzt.

Gruß, Hogar

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Sicher liegt es an meiner Formulierung, dass du mich nicht verstehst. Umgekehrt ist es übrigens genau so.

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Ich habe mir wirklich Mühe gegeben, dir zu erklären, wie die verschiedenen Arten zustande kommen. Wenn da noch etwas unklar ist, bin ich gerne bereit, es weiter zu erklären wenngleich ich da langsam aber nicht weiter weiß, wenn es keine konkreten Fragen gibt.

Kann es aber sein, dass du eine andere Vorstellung von Art hast, dass es bei dir nur eine Art ist wenn drei Quadrate mit jeweils 8 Strecken also der Kamtenlänge 2 weshalb ich sie

2×2 Quadrate genannt habe.da liegen?

Kann es sein, wenn ein 4×4Quadrat und ein 2×3Quadrat da liegen, dass es für dich auch nur eine Art ist, dass es weder darauf ankommt, wie sie zusammen liegen, noch ob durch das große Quadrate zwei Quadrate umrandet werden und durch das Kleine nur eins oder durch das Kleine zwei Quadrate und durchs Große nur ein Quadrat umrandet wird? Dass du dann einfach sagst, dass es nur eine Art ist ?

Vielleicht hättest du erklären müssen, was deine Vorstellung von Art ist.

Es war übrigens sehr aufwendig für mich, die wie ich meinte Arten auseinander zu halten.

Vielleicht aber verrätst du uns einfach deine Lösung, denn von dir kommen ja keine Fragen, bei denen du einen Rat benötigst, sondern dir liegt ja schon eine Lösung vor.

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Meine Aufgaben stelle ich, weil ich Schwierigkeiten bei der Verständlichkeit ihrer Formulierung aufspüren möchte. In diesem Falle war die Formulierung wohl äußerst mangelhaft, was zu deinen Lösungsvorschlägen geführt hat.

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Hallo Roland

Dann könntest du vielleicht, die Katze aus den Sack lassen. Ich bin schon sehr gespannt, welche Möglichkeiten neben den von mir genannt es denn noch geben sollte. Ich bin scheinbar zu dumm, um auf die zusätzlichen Möglichkeiten zu kommen. Es mag sein, dass ich aus deiner Sicht einige Möglichkeiten zu viel genannt habe, doch interessieren würden mich die Arten, die ich übersehen habe.

Gruß, Hogar

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Dies neun Möglichkeiten waren gemeint:

Die Lücken zwischen den Strecken dienen nur der Unterscheidung.

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Hallo Roland,

Schön, da sind einige dazu gekommen, die ich noch nicht hatte.

Doch warum sind die Lösungen, die ich angeführt hatte nicht dabei?

Die vollständige Überlappung ist doch auch eine Überlappung.

( complete overlap )

Wenn es dir also darum geht, herauszufinden, warum wir uns nicht verstanden haben, dann lag es daran, dass du die vollständige Überlappung ausgeschlossen hast, und nicht verstanden hast, dass die Arten auch aufgrund ihrer Anordnung eingeteilt werden könnten.

Ich hingegen habe, aufgrund der vielen Möglichkeiten, die, durch die fälschliche Annahme, dass auch die Anordnung eine Rolle spielt, entstehen, die  teilweise  Überlappung manchmal übersehen.

Dieses kleine Wort, teilweise, hätte einige Missverständnisse vermieden.

Liebe Grüße, Hogar

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Mir ist - auch Dank deiner Einwände - klar geworden, dass ich mich nicht immer verständlich ausdrücke.

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Mich hat nur gewundert, warum du über meine Lösungen so erstaunt warst, nachdem ich doch schon geschrieben hatte, dass die Anordnung vermutlich bei dir keine Rolle spielt.

Warum wurde denn die vollständige Überlappung ausgeschlossen?

Und warum konntest du nicht anerkennen, das die vollständige Überlappung eine Lösung der gestellten Aufgabe ist?

Dies muss dir doch aufgefallen sein.

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Lies mal mein Profil.

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Hallo Roland,

ja, du gehöst zu den Top-10, all Achtung.

Darum war ich ja so verwundert.

Nachdem ich die Aufgabe gelesen hatte, war mir sofort klar , dass auch das große aus allen Strecken gebildete Quadrat eine Lösung ist.

Darum habe ich diese auch angegeben. Ein 4×4 Quadrat und ein 2×2 Quadrat wieder mit einer vollständigen Überlappung hatte ich auch angegeben. Du bist scheinbar davon ausgegangen, dass dies keine richtigen Lösungen seien, hast es mir aber nicht gesagt. Dann hätten wir doch darüber reden können.

Doch selbst nach unserer Diskussion, stellst du eine Lösung vor, bei der complete overlap fehlt.

Die wie ich meine Fehlenden habe ich mal aufgezeichnet.

Liebe Grüße, Hogar

Text erkannt:

complete overlap

Da du graphisch Lösungen so magst.