Beweis Riemann Integral

Question

Ich habe eine Frage zu einem Beweis.

Proposition: Sei a < b, und sei f : [a, b] → R beschränkt. Genau dann
ist f auf [a, b] integrierbar, wenn es zu jedem ε > 0 eine Partition P von [a, b] so
gibt, dass O(f, P) − U(f, P) < ε ist.

Beweis (nur die Rückrichtung):

Sei umgekehrt f integrierbar auf [a, b]. Dann gilt
sup{U(f, P) | P Partition von [a, b]} = inf{O(f, P) | P Partition von [a, b]}.
Für jedes ε > 0 gibt es dann Partitionen P' und P'' von [a, b] mit O(f, P'') −U(f, P') < ε. Sei P eine Verfeinerung von P' und P''. Mit Lemma 20.1.5 gilt O(f, P) ≤ O(f, P'') und U(f, P) ≥ U(f, P'). Es folgt
O(f, P) − U(f, P) ≤ O(f, P'') − U(f, P') < ε.

Text erkannt:

Sei umgekehrt \( f \) integrierbar auf \( [a, b] . \) Dann gilt
$$ \sup \{U(f, P) \mid P \text { Partition von }[a, b]\}=\inf \{O(f, P) \mid P \text { Partition von }[a, b]\} $$
Für jedes \( \varepsilon>0 \) gibt es dann Partitionen \( P^{\prime} \) und \( P^{\prime \prime} \) von \( [a, b] \operatorname{mit} O\left(f, P^{\prime \prime}\right)- \) \( U\left(f, P^{\prime}\right)<\varepsilon . \) Sei \( P \) eine Verfeinerung von \( P^{\prime} \) und \( P^{\prime \prime} . \) Mit Lemma 20.1 .5 gilt \( O(f, P) \leq O\left(f, P^{\prime \prime}\right) \) und \( U(f, P) \geq U\left(f, P^{\prime}\right) . \) Es folgt
$$ O(f, P)-U(f, P) \leq O\left(f, P^{\prime \prime}\right)-U\left(f, P^{\prime}\right)<\varepsilon $$

An sich ergibt das Sinn, aber ich verstehe nicht, wieso aus der 1. Gleichung folgt, dass es zwei Partitionen P' und P'' gibt mit O(f,P'') - U(f,P') < ε

Answer 1

x := sup{U(f, P) | P Partition von [a, b]} < ∞ (wegen der Integrierbarkeit)

ist das Supremum der Untersummen aller Partitionen. D.h. die kleinste obere Schranke dieser Menge. In einer Menge mit endlichem Supremum findet man immer eine Folge die gegen das Supremum der Menge konvergiert. Du findest also eine Folge von Untersummen deren Wert gegen x kovergiert. Da du aber jeder dieser Untersummen auch eine Partition zuordnen kannst findest du auch eine Folge von Partitionen \( (P_i)_{i\in\mathbb{N}} \) mit \( \lim_{i\to\infty} U(f, P_i) = x \). Nach der Definition der Konvergenz findest du jetzt aber einen Index J mit \( |U(f, P_j) - x| \le \frac{\varepsilon}{2} \) für alle j ≥ J.

Das Gleiche Spiel nun mit dem Infimum. Da das Infimum endlich ist existiert wieder eine Folge von Partitionen \( (P_i)_{i\in\mathbb{N}} \) mit \( \lim_{i\to\infty} O(f, P_i) = x \). Nach der Definition der Konvergenz findest du auch hier einen Index K mit \( |O(f, P_k) - x| \le \frac{\varepsilon}{2} \) für alle k ≥ K.

Jetzt ist

$$ |U(f, P_J) - x| < \frac{\varepsilon}{2} $$ und

$$ |O(f, P_K) - x| < \frac{\varepsilon}{2}$$

Nach Definition von Supremum und Infimum gilt aber stets: $$ U(f,P_J) \le x \le O(f, P_K) $$ d.h. $$ x - U(f, P_K) < \frac{\varepsilon}{2} $$ und $$ O(f, P_K) - x < \frac{\varepsilon}{2}$$ bzw. addiert dann eben $$ O(f, P_J) - U(f, P_K) < \frac{\varepsilon}{2}+ \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon $$

Comments

Answer 2

Hallo

dass es P' und P'' gibt liegt an der Definition von inf und sup für P

Gruß lul

Comments

Ja das habe ich mir auch gedacht.

Ich habe mir das so überlegt. Wenn die 1. Gleichung gilt, heißt das, dass das Supremum der Menge von allen Untersummen einer Partitionen der Menge gleich dem Infimum der Menge von allen Untersummen einer Partitionen der Menge ist. Also finde ich immer zwei Partitionen für die gilt, dass die Differenz von Ober- und Untersumme kleiner als e wird.

Ich weiß nicht, ob man das so sagen kann.

Wenn ja, dann frage ich mich aber, wieso der Zwischenschritt mit P'' und P' gemacht wurde. Hätte ich dann nicht einfach gleich sagen können, dass ich eine Partition P finde, für die, die zu zeigende Ungleichung gilt?

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P war ja das inf bzw. sup

lul