Teilbarkeit sechs gerader Zahlen, ist dies möglich? - Sechs Kinder sitzen an einem Tisch...

Question

Sechs Kinder sitzen an einem Tisch. Jedes Kind hat eine gerade Anzahl an Bonbons. Auf Kommando gibt jedes Kind die Hälfte seiner Bonbons an seinen rechten Nachbar ab; besitzt ein Kind danach eine ungerade Anzahl an Bonbons, nimmt es sich ein Bonbon aus dem unbegrenzten Vorrat. Die Kinder wollen diesen Vorgang solange wiederholen, bis alle gleich viele Bonbons besitzen.

Ist dies immer möglich?

Comments

Was ist das doch für ein Zufall dass die Frage bis auf 2 irrelevante Unterschiede in der Aufgabenstellung exakt die 3. Aufgabe der 2. Runde des Landeswettbewerbs Mathematik Baden-Würtemberg ist!!! Zufälligerweise sitze ich auch gerade an dieser Aufgabe, wäre also auch an einer Lösung interessiert. Ich finde es aber unfair anderen gegenüber, die sich selber eigene Gedanken gemacht haben, sich die Aufgabe einfach von jemandem in diesem Forum lösen zu lassen, und nicht einmal in die Frage zu schreiben, wofür die Lösung eigentlich gebraucht wird! Und jemand, der so etwas macht, hat in der ersten Runde einen 1. oder 2. Preis erhalten!!!

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wenn du mich fragst, sind derartige Matheolympiaden deplatziert und nicht mehr zeitgemäß.

Ich habe auf diese Art und Weise versucht, an den olympischen Spielen teilzunehmen. Ich war 100 m in 6 Sekunden gerannt und habe meine Messergebnisse eingeschickt. Niemand wollte mir glauben.

MfG

Mister

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Was für ein treffendes Beispiel! +20 Daumen für Mister. @Admin: Bitte! ;-)

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Witzigerweise ist das ebenfalls fast genau die 3. Aufgabe der 2. Runde des Landeswettbewerbs Mathematik in Bayern. Ich komme auch nicht weiter, habe aber überlegt, dass sich nichts an der Situation ändert, wenn man bei jedem eine gerade Anzahl an Bonbons abziegt. Weiß nicht ob das weiterhilft.

Answer 1

(Zunächst muss ich ein paar Leerzeilen erzeugen, damit die nachfolgende etwas zu breite Tabelle vollständig sichtbar erscheint)

Wenn die Frage das Wörtchen "immer" nicht enthielte, dann wäre die Antwort einfach: nämlich "Ja, das ist möglich."

Ich habe eine EXCEL-Tabelle zur automatischen Berechnung des Problems erstellt und ein wenig herumexperimentiert. In jedem Fall kam es innerhalb "relativ weniger" Schritte zur Konvergenz, also zu dem Ergebnis, dass alle Kinder dieselbe Anzahl Bonbons hatten. Danach führten weitere Versuchsschritte zu keiner Ergebnisänderung mehr.

Hier mal ein Beispiel für einen solchen Versuchslauf:

Schritte	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
Kind 1	2	14	20	22	22	20	18	16	14	14	14	16	18	20	22	22	22	22
Kind 2	6	4	10	16	20	22	22	20	18	16	16	16	16	18	20	22	22	22
Kind 3	10	8	6	8	12	16	20	22	22	20	18	18	18	18	18	20	22	22
Kind 4	14	12	10	8	8	10	14	18	20	22	22	20	20	20	20	20	20	22
Kind 5	22	18	16	14	12	10	10	12	16	18	20	22	22	22	22	22	22	22
Kind 6	26	24	22	20	18	16	14	12	12	14	16	18	20	22	22	22	22	22
Summe	80	80	84	88	92	94	98	100	102	104	106	110	114	120	124	128	130	132

Interessant ist insbesondere, dass das Verfahren in meinen Versuchen nicht nur für geradzahlige sondern auch für ungeradzahlige und auch für gemischte, also gerad- und ungeradzahlige Startwerte konvergierte.

 

Die rekursive Formel, die hinter der Tabelle steckt, ist eigentlich recht einfach. Bei insgesamt s Kindern lautet sie für das erste Kind: 

Kind ₁ ( n + 1 ) = [ Kind ₁ ( n ) + Kind _s ( n ) ] / 2

und für jedes weitere Kind:

Kind _k ( n + 1 ) = [ Kind _k ( n ) + Kind _k-1 ( n ) ] / 2 mit k = 2 ... s

wobei Kind _k ( 0 ) jeweils der Startwert von Kind _k ist.

 

Leider enthält aber die Fragestellung das Wörtchen "immer" und das bedeutet, dass man entweder ein Gegenbeispiel finden muss, um die Frage verneinen zu können (das ist mir nicht gelungen) oder dass man zeigen muss, dass das Verfahren für jede gültige Startwertbelegung konvergiert (das ist mir leider auch nicht gelungen ...).

Da die neue Bonbonanzahl eines jeden Kindes auch immer von der ursprünglichen Bonbonanzahl seines Nachbarkindes abhängt, ist die Auflösung dieser rekursiven Formeln in explizite Formeln nicht einfach ...
Vielleicht aber helfen dir ja schon die Formeln ein wenig weiter ...

Comments

gibt es nicht irgendeine Formel mit der man das gegen Ereignis einfach bestimmen kann? sitze seit 8 tagen an der Aufgabe und bin durch ausprobieren auf noch kein Ergebnis gekommen... es ist echt schwer...

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weis gerade nicht so ganz was mir das helfen soll, dass ich eine gerade zahl an Bonbons abziehen kann