Konstruiere eine Zahl α. Uni-Niveau

Question

Aufgabe:

Konstruiere eine Zahl α ∈ ℝ \ ℚ mit folgender Eigenschaft:
Für alle n ∈ ℕ hat die Ungleichung

∣α-\( \frac{p}{q} \) ∣ ≤ \( \frac{1}{q^{n}} \)

eine rationale Lösung \( \frac{p}{q} \) ∈ ℚ\ ℕ.

Problem/Ansatz:

α=1+ \( \sqrt[1]{10} \) + \( \sqrt[1]{1000} \) + \( \sqrt[1]{10000000000} \) + ...

Comments

Hallo

was soll der Ansatz? wieso soll p/q denn so riesig sein?

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Was ist die erste Wurzel?

Hoch 1?

:-)

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der ansatz sollte 1+1/10+1/1000 sein usw

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$$\text{Ist } p,q\in \mathbb{Z} \text{ vorgegeben? Oder ist } \frac{p}{q}\in \mathbb{Q}\setminus \mathbb{N} \text{ die einzige Information?}$$

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Die Anzahl der Nullen ist seltsam.

Keine, eine, drei, zehn, ... ?

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p/q∈Q∖N ist die einzige Information

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$$\text{So wie die Aufgabe jetzt gestellt ist würde mit } \alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2} \text{ die Ungleichung } \left| \alpha-\frac{p}{q}\right| \leq \frac{1}{q^n} \text{ für eine mögliche Lösung } p=-1, \ q=1 \Rightarrow \frac{p}{q}=-1\in \mathbb{Q}\setminus \mathbb{N} \text{ für jedes } n\in \mathbb{N} \text{ erfüllt sein. Ich bezweifle aber, dass die Aufgabe so gemeint war.}$$

Answer 1

Hallo

du hast ja die Lösung mi1  a= 1,101000001000000000001  usw.  und  p=1101 q=10^3  für n=3  , da müssen eben immer mehr Nullen rein damit man auf n=4 usw kommt.