Aloha :)
Gesucht sind die Extremstellen der Funktion \(f\) unter der Nebenbedingung \(g=0\):$$f(x,y)=x^2+y^2\quad;\quad g(x,y)=\frac{x^2}{4}+y^2-1=0$$Nach Lagrange müssen in einem Extrempunkt die beiden Gradienten der Funktionen linear abhängig sein, der Proportionalitätsfaktor ist der Lagrange-Multiplikator, den wir aber nicht verwenden werden. Stattdessen verwenden wir, dass die Determinante genau dann gleich null ist, wenn ihre Spalten oder Reihen linear abhängig sind. Wir tragen also die Gradienten in eine Determinante ein und fordern, dass diese null sein muss:$$0\stackrel{!}{=}\left|\begin{array}{r}2x & \frac{x}{2}\\2y & 2y\end{array}\right|=4xy-xy=3xy\quad\Leftrightarrow\quad x=0\;\lor\;y=0$$
Diese Forderung setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$x=0:\; g(x,y)=g(0,y)=y^2-1=0\quad\Leftrightarrow\quad y=\pm1$$$$y=0:\; g(x,y)=g(x,0)=\frac{x^2}{4}-1=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm2$$Damit haben wir alle Kandidaten für Extremstellen gefunden:$$K_1(0;-1)\quad;\quad K_2(0;1)\quad;\quad K_3(-2;0)\quad;\quad K_4(2;0)$$
~plot~ sqrt(1-x^2/4) ; -sqrt(1-x^2/4) ; sqrt(4-x^2) ; -sqrt(4-x^2) ; sqrt(1-x^2) ; -sqrt(1-x^2) ; {2|0} ; {-2|0} ; {0|1} ; {0|-1} ; [[-3|3|-2,1|2,1]] ~plot~
In deiner Lösung fehlen die Extrempunkte \(K_3\) und \(K_4\). Du müsstest die Nebenbedingung auch noch nach \(x^2\) auflösen und das Resultat in \(f(x,y)\) einsetzen:$$x^2=4-4y^2\quad\Rightarrow\quad f(x,y)=4-3y^2$$Das Nullsetzen der Ableitung liefert jetzt \(y=0\) und danach \(x=\pm2\).
