Ungleichung Gerade / Ebene

Question

Wir betrachten in einer Ebene die vier verschiedenen Punkte A, B, C und D, die in dieser
Reihenfolge auf einer Geraden g liegen.

Zeigen Sie:
a) Wenn für jeden Punkt P auf g die Ungleichung
|AP| + |DP| ≥ |BP| + |CP|

gilt, dann ist |AB| = |CD|.

b) Wenn für jeden Punkt P der Ebene, der nicht auf g liegt, die Ungleichung
|AP| + |DP| > |BP| + |CP|

gilt, dann ist |AB| = |CD|.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir eine gerad g. gezeichnet um mir das bildlich vorstellen zu können. Meiner Meinung nach, ist die Ungleichung nicht möglich. bin mir aber total unsicher, da oben in der Frage etwas von einer Ebene steht. Eine Gerade ist nicht zwangsläufig eine Ebene?

Comments

Ich habe mir eine Gerade g gezeichnet, um mir das bildlich vorstellen zu können. Meiner Meinung nach, ist die Ungleichung durchaus möglich.

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Es ist durchaus möglich, aber nicht generell.Und es steht in der Frage, es gilt, dann ist |AB| = |CD|.

So ist es ja eigentlich nicht, es kann stimmen, muss aber nicht. Oder sehe ich da was falsch?

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Auch ich habe etwas falsch gesehen: P soll nicht auf g liegen. Meine Skizze sollte besser so aussehen:

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Hallo Träumer,

mal angenommen, der Punkt \(A\) liegt bei der X-Koordinate \(0\) und der Punkt \(D\) liegt bei \(d\) mit \(d\gt 0\) . Dann untersuche doch mal die Funktion $$f(x) = |x| + |x-d|$$ Zeichne sie Dir mal auf und schaue Dir an, wo die Verlängerungen der Schenkel sich schneiden.

Anschließend füge eine zweite Funktion hinzu $$g(x) = |x-b| + |x-c|, \quad 0 \le b \le c \le d$$ und lege beide übereinander.

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Auch ich habe etwas falsch gesehen: P soll nicht auf g liegen. Meine Skizze sollte besser so aussehen:

Für Aufgabe a) soll P auf g liegen.

a) Wenn für jeden Punkt P auf g ...

Bei Aufgabe b) soll P nicht mehr auf der geraden liegen Wohl aber noch in der Ebene in der sich auch die Gerade befindet.

b) Wenn für jeden Punkt P der Ebene, der nicht auf g liegt ...

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Das ist aber nicht primär. Da es fiktive Punkte sein können, stimmt die Aussage nur wenn ich die Punkte A B C und D, immer im selben Abstand zu Punkt P zeichne, also die Aussagen von a und b nicht genrell zutreffen.

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hast Du \(f\) und \(g\) gezeichnet (s. mein Kommentar oben)?

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Ich soll dass an Hand einer gerade g zeichnen, da hilft mir glaube ich ein Koordinatensystem nicht weiter? Die Skizze war in sofern schon richtig, da in Frage a, der Punkt P auf der Gerade sein soll, in Frage b allerdings auf der Ebene. Nach wie vor meine Frage, es ist sicher möglich, aber nicht die Regel, wenn ich die anderen Punkte frei einzeichnen kann.

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Ich soll dass an Hand einer gerade g zeichnen, da hilft mir glaube ich ein Koordinatensystem nicht weiter?

Oh doch!

Wenn \(f(x) = |AP| + |DP|\) und \(g(x) = |BP| + |CP|\) ist, wobei \(x\) die Position von \(P\) bezogen auf \(A\) beschreibt, dann könnte man doch sehr schön sehen, unter welchen Bedingungen \(f(x) \ge g(x)\) ist, wenn man das in ein Koordinatensystem einzeichnet - oder nicht?

Oder wie willst Du denn sonst die beiden Streckensummen vergleichen? Und das für alle Positionen von \(P\) - sprich: für alle Werte von \(x\)!

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meine Überlegung zur Aufgabe b) :

Wenn ich einen Punkt P habe, der nicht auf g liegt, kann ich diesen mithilfe einer Senkrechten zu g auf die Gerade projizieren und erhalte einen Punkt P‘, der auf g liegt.

Wenn |AP|+|DP|>|BP|+|CP| gilt, dann gilt doch auch |AP‘|+|DP‘|>|BP‘|+|CP‘| ???

LG

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Wenn ich einen Punkt P habe, der nicht auf g liegt, kann ich diesen mithilfe einer Senkrechten zu g auf die Gerade projizieren und erhalte einen Punkt P‘, der auf g liegt.

Ich denke der Ansatz ist recht brauchbar. Mit meiner Lösung von a) solltest du damit zum Ziel kommen.

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also bei b) habe ich einmal AB>CD und einmal AB<CD. Dann ist doch die Aussage für AB=CD nie erfüllt?

Answer 1

a)

Eventuell kommst du mit einer Fallunterscheidung zum Ziel.

1. Fall: P liegt links von A auf der Geraden g

|AP| + |DP| ≥ |BP| + |CP|

Dann haben wir dort stehen

|PA| + |PA| + |AB| + |BC| + |CD| ≥ |PA| + |AB| + |PA| + |AB| + |BC|
|CD| ≥ |AB|

Jetzt gibt es insgesamt 5 Fälle. Also noch 4 die du untersuchen solltest. Gibt also genug Trainingsmaterial.

Comments

im 2. Fall liegt also P zwischen A und B.

bekommt dann |AP| im Gegensatz zu den anderen Längen ein negatives Vorzeichen, da |AP| nun auf der anderen Seite von P liegt?

Dann ergibt sich für mich:

-|AP|+ |PB|+|BC|+|CD| >= |BP|+ |PB|+|BC|

-|AP|-|PB|>=-|CD|     |*(-1)

|AB|=<|CD|

LG

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Nein

|AP| ist der Abstand von A zu P und wird nie negativ angegeben.

Aber setze mal den Punkt P rechts von A, B, C und D

|AP| + |DP| ≥ |BP| + |CP|
|AB| + |BC| + |CD| + |DP| + |DP| ≥ |BC| + |CD| + |DP| + |CD| + |DP|
|AB| ≥ |CD|

Jetzt hast du bereits 2 Gleichungen

|CD| ≥ |AB|
|AB| ≥ |CD|

Aus diesen beiden Gleichungen folgt bereits |AB| = |CD| oder nicht?

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Stimmt so sehe ich das auch