Wie nun durch Koeffizientenvergleich A und B bestimmen?

Question

Aufgabe:

-1*A*sin(x)-B*cos(x)-2*A*cos(x)+2*B*sin(x)-8*A*sin(x)-8*B*cos(x)-8*C=3*sin(x)+4

-9*A*sin(x)-9*B*cos(x)-2*A*cos(x)+2*B*sin(x)-8*C=3*sin8x)+4

1) -8*C=4  → C=4/-8=-1/2

bleibt

-9*A*sin(x)-9*B*cos(x)-2*A*cos(x)+2*B*sin(x)=3*sin(x)

Wie nun durch Koeffizientenvergleich A und B bestimmen ?

Dazu braucht man 2 Gleichungen

1)  .... ?

2) .... ?

Lösung: A=-27/85  und B=6/85  und C=-1/2

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Deine Umformungen und das Ergebnis \(C=-\frac{1}{2}\) sind korrekt.

Die Cosinus-Terme müssen in Summe verschwinden:$$-9B-2A=0$$

Die Sinus-Terme müssen in Summe \(3\) ergeben:$$-9A+2B=3$$

Das führt auf das Gleichungssystem:$$\begin{array}{r}A & B & =\\\hline -2 & -9 & 0\\-9 & 2 & 3\end{array}$$Mit den Lösungen: $$A=-\frac{27}{85}\quad;\quad B=\frac{6}{85}$$

Comments

Hab´s jetzt gerafft !

linke Seite steht der Term mit cos(x)

rechte Seite kein Term mit cos(x)   also Terme mit cos(x) sind NULL

Answer 2

- 1·a·SIN(x) - b·COS(x) - 2·a·COS(x) + 2·b·SIN(x) - 8·a·SIN(x) - 8·b·COS(x) - 8·c = 3·SIN(x) + 4

Wenn ich die Gleichung vereinfache erhalte ich

(2·a + 9·b)·COS(x) + (9·a - 2·b + 3)·SIN(x) + 4·(2·c + 1) = 0

also

2·a + 9·b = 0
9·a - 2·b + 3 = 0
(2·c + 1) = 0

a = - 27/85 ∧ b = 6/85 ∧ c = - 1/2

Comments

Der normale Koeffizientenvergleich gleicher Potenzen von x,wäre ja

Beispiel:

A*x²+B*x+c*x⁰=4*x²-3*x-2*x⁰

1) c*1=-2*1  → c=-2/1*1=-2

2) B*x=-3*x → B=-3

3) A*x²=4*x² → A=4

vereinfacht steht da ja

A+B+C=0

Warum sollte denn wie bei dir A=0 und B=0 und C=0 sein?

Könnte ja auch sein A+B=0  und nur c=0

oder B+c=0  und nur A=0

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Warum sollte denn wie bei dir A=0 und B=0 und C=0 sein?

Vermutlich damit die Gleichung für ALLE x erfüllt ist.

Natürlich gibt es auch Lösungen für spezielle x.

Answer 3

Die Ausgangsgleichung lautet

$$  -9 A \sin(x) - 9 B \cos(x) - 2 A \cos(x) + 2 B \sin(x) = 3 \sin(x) $$

Nach Koefizienten von \( \sin() \) und \( \cos() \) sortieren ergibt die Gleichungen

$$ (1) \quad -9 A + 2 B = 3 $$ und

$$ (2) \quad -2 A - 9 B = 0 $$

Die beiden Gleichungen lösen, ergibt das Ergebnis.