Lösen einer Matrizengleichung

Question

Aufgabe:

Wer kann diese Matrizengleichung lösen?

(X^T_*B^T)^-1=(C-A_*X)^T

Die Gleichung soll nach der Matrix X aufgelöst werden, unter der Bedingung, dass alle Multiplikationen möglich sind und die entsprechenden Inversen existieren.

Answer 1

Habe mal ein wenig rumprobiert....

Einerseits: \((X^TB^T)^{-1}=(B^{-1})^T\cdot (X^{-1})^T\)

Andererseits: \((C-AX)^T=C^T-X^TA^T\)

Transponiere nun beide Seiten und erhalte: \(X^{-1} \cdot B^{-1} = C - A X\)

hmmm...

Comments

Weiter bin ich auch nicht gekommen.

---

Ich bezweifele, dass die Matrixgleichung lösbar ist.

---

Hinweis: \(B^{-1}\cdot B^{1}=I= \begin{pmatrix} 1&0&0&\ldots &0 \\ 0 & 1 &0&\ldots &0\\ \vdots& & \ddots& &\vdots\\ 0&\ldots &0&1&0\\ 0&\ldots &&0 &1 \end{pmatrix}\)

Aber ich sehe gerade, dass man mit dem heranmultiplizieren von \(B\) auch nicht weiterkommt...

---

Wollte gerade sagen, das hilft auch nicht weiter.

---

Ja, ich war etwas voreilig mit dem Kommentar und habe es noch nicht mal ausprobiert gehabt.

---

Die Aufgabe ist sicherlich falsch wiedergegeben. Solche Matrixaufgaben gibt es hier zuhauf, aber die sind fast immer trivial lösbar ;)

---

"Die Aufgabe ist falsch wiedergegeben":

Naja, das war eine Abituraufgabe von 2015, Berufliches Gymnasium, Bundesland Sachsen. Im Original war sie folgendermaßen  mit fünf Möglichkeiten, von der nur eine richtig ist, gegeben, was aber auch auf einen Lösungsversuch hinausläuft:

"Die Lösung der Matrizengleichung (X^T_*B^T)^-1=(C-A_*X)^T

^{1) läßt sich nicht bestimmen}

^{2) ist X = E}

^{3) ist X = (B+A)(hoch-1) mal} C

^{4) ist X = C mal (B+A)(hoch-1)}

^{5) ist X = C/(B+A)"}

^{Ich habe die Aufgabe nun so wiedergegeben, wie sie im Angabenblatt der Abiturprüfung steht.}

---

Nun gut, dann vereinfacht man so weit, wie ich das getan habe udn setzt die gegebenen Lösungsvorschläge ein. Per Auschlussverfahren kommt man dann darauf, dass 1) richtig ist.

---

Es macht schon einen Unterschied, wenn man die möglichen Lösungen als Information dazu bekommt. Es wurde schon angemerkt, dass es keine mögliche Umformung gibt, aber keiner konnte wissen, dass dies die richtige Lösung ist. Durch die vorgegeben Lösungen kann man dies jetzt aber ganz einfach sehen.