Na, nun lasst den armen Frank mal nicht so hängen - er schafft es ja offenbar nicht allein. Vielleicht gelingt es ihm ja beim übernächsten Mal, wenn man es ihm diesmal noch einmal klar zu machen versucht ...
Die Oberfläche O einer Pyramide setzt sich zusammen aus ihrer Grundfläche und ihrer Mantelfläche, also:
O = G + M
Der Mantelflächeninhalt M ist gegeben (M = 362,9 cm2). Er ist das Neunfache des Flächeninhaltes As eines der Seitenflächendreiecke der Pyramide, also:
M = 9 * As
Der Flächeninhalt As ergibt sich aus der gegebenen Seitenflächenhöhe hs = 12,6 cm und der noch unbekannten Seitenlänge a des Grundflächenneunecks mit der Formel:
As = hs * a / 2
also
M = 9 * As = 9 * hs * a / 2
Daraus lässt sich die Seitenlänge a berechnen:
a = M * 2 / ( 9 * hs ) = 362,9 * 2 / ( 9 * 12,6 ) = 6,4 cm
Mit der Seitenlänge a und der aus einer Formelsammlung entnommenen Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Polygons kann man nun den Grundflächeninhalt G der Pyramide berechnen:
G = ( 9 / 4 ) a 2 cot ( 20 ° ) = ( 9 / 4 ) * 6,4 2 * cot ( 20 ° ) = 253,21 cm2
Somit ergibt sich für den Oberflächeninhalt O der Pyramide:
O = M + G = 362,9 + 253,21 = 616,11 cm2
Für die Körperhöhe hk der Pyramide gilt, wie man sich anhand einer Skizze überlegen kann, nach dem Satz des Pythagoras:
hs2 = hk2 + ri2
<=> hk2 = hs2 - ri2
wobei ri der Inkreisradius des Grundflächenneunecks ist. Dieser lässt sich anhand einer aus der Formelsammlung entnommenen Formel aus dem Grundflächeninhalt G und der Seitenlänge a berechnen:
G = ( 9 / 2 ) * a * ri
<=> ri = 2 * G / ( 9 * a ) = 2 * 253,21 / ( 9 * 6,4 ) = 8,79 cm
Somit ergibt sich für die Körperhöhe hk der betrachteten Neuneckspyramide:
hk = √ ( hs2 - ri2 ) = √ ( 12,6 2 - 8,79 2 ) = 9,03 cm
