Wie bilde ich die Stammfunktion dieser E-Funktion?

Question

Aufgabe: Stammfunktion von (2x-4)e^-0,5x

…

Problem/Ansatz:

Wie bilde ich die Stammfunktion dieser Funktion?

(2x-4)e^-0,5x

,

Johannes

Answer 1

Partielle Integration:

        \(\int f'(x)\cdot g(x)\, \mathrm{d}x = f(x)\cdot g(x) - \int f(x)\cdot g'(x)\, \mathrm{d}x\)

Setze \(g(x) = 2x-4\) und \(f'(x) = e^{-0,5x}\) ein.

Comments

danke für die Antwort,

partielle Integration hatte ich noch gar nicht

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partielle Integration hatte ich noch gar nicht

Folgt unmittelbar aus der Produktregel:

        \(\begin{aligned} &  & f(x) & :=g(x)h(x)\\ & \implies & f'(x) & =g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\\ & \implies & \int f'(x)\text{d}x & =\int\left(g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\right)\text{d}x\\ & \implies & f(x) & =\int\left(g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\right)\text{d}x\\ & \implies & g(x)h(x) & =\int\left(g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\right)\text{d}x\\ & \implies & g(x)h(x) & =\int g'(x)h(x)+\int g(x)h'(x)\text{d}x\\ & \implies & g(x)h(x)-\int g'(x)h(x)\text{d}x & =\int g(x)h'(x)\text{d}x\\ & \implies & \int g(x)h'(x)\text{d}x & =g(x)h(x)-\int g'(x)h(x)\text{d}x \end{aligned}\)

Die Hoffnung dabei ist, dass das Integral auf der rechten Seite einfacher ist als das ursprüngliche.

Bei Funktionen der Form Polynom·Exponentialfunktion ist das bei geeigneter Wahl von \(g\) und \(h'\) der Fall, weil der Grad des Polynoms im Restintegral um 1 kleiner ist also ursprünglich.

Answer 2

Aus Erfahrung weiß man, dass \(F\) wieder die Form \((ax+b)e^{-0.5x}\) hat. Leitest du diesen Ausdruck aus, erhältst du \((-0.5ax-0.5b+a)e^{-0.5x}\). Aus einem Koeffizientenvergleich folgt, dass \(-0.5a=2\) und \(-0.5b+a=-4\) und damit, dass \(a=-4\) und \(b=0\).

Somit hast du \( F(x)=-4xe^{-0.5x}+C\)

Comments

danke für die Antwort,

partielle Integration hatte ich noch gar nicht

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welche Erfahrung..

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Hatte das im Mathe-LK damals auch erst mit dieser Methode gemacht.

Immer wenn du [Lineare Gleichung] * [Exponentialfunktion] hast, gilt dieser Ansatz.

Also es geht auch für f(x)=(x+2)e^x oder g(x)=(-2x+5)e^(-2x) usw. usf.

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partielle Integration hatte ich noch gar nicht

Daher ist es ja auch gut dass hier KEINE partielle Integration verwendet wurde.

welche Erfahrung..

Wenn du noch keine hast, dann leite deine Funktion

f(x) = e^(- 0.5·x)·(2·x - 4)

zweimal ab. Du solltest sehen das beide Ableitungen die Form

y = e^(- 0.5·x)·(a·x + b)

haben. Daher ist anzunehmen, dass auch die Stammfunktion diese Form hat.

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Immer wenn du [Lineare Gleichung] * [Exponentialfunktion] hast, gilt dieser Ansatz.

Achtung: Die Exponentialfunktion darf nur einen linearen Exponenten haben.

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Genau, eben der Form: (ax+b)e^(cx+d)

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Genau. Und man kann das sogar noch etwas verallgemeinern. Es funktioniert nicht nur mit linearen Funktionen als Faktor sondern mit Polynomen beliebigen Grades. Typischerweise also auch quadratische Funktionen.

Also eine Stammfunktion von

f(x) = e^(ax + b) * (cx^2 + dx + e)

ließe sich auch so recht einfach bestimmen.

Answer 3

partielle Integration:

https://www.integralrechner.de/

Answer 4

Hallo

die 2 Summanden einzeln x*mit partieller Integration u=x, v=e^-0,5x

Gruß lul