Wie bilde ich die Stammfunktion von
ex1+e2x \frac{e^{x}}{1+e^{2 x}} 1+e2xex
Man kann glaube ich irgendwie die Ableitung des arctan(x) verwenden, aber wie?
Hi,
ganz einfach ist die Substitution ex = u und damit du = ex dx
∫ex1+e2xdx=∫ex1+u2duex=∫11+u2du=arctan(u)+c=arctan(ex)+c\int \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx = \int \frac{e^x}{1+u^2} \frac{du}{e^x} = \int \frac{1}{1+u^2} du = arctan(u) + c= arctan(e^x) + c∫1+e2xexdx=∫1+u2exexdu=∫1+u21du=arctan(u)+c=arctan(ex)+c
Letzteres Integral ist allgemein bekannt und darf sicher benutzt werden ;).
Grüße
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