Wie bilde ich die Stammfunktion der Funktion (e^x)/(1+e^{2x})

Question

Wie bilde ich die Stammfunktion von

$$ \frac{e^{x}}{1+e^{2 x}} $$

Man kann glaube ich irgendwie die Ableitung des arctan(x) verwenden, aber wie?

Answer 1

Hi,

ganz einfach ist die Substitution e^x = u und damit du = e^x dx

 

$$\int \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx = \int \frac{e^x}{1+u^2} \frac{du}{e^x} = \int \frac{1}{1+u^2} du = arctan(u) + c= arctan(e^x) + c$$

 

Letzteres Integral ist allgemein bekannt und darf sicher benutzt werden ;).

Grüße