Aufgabe:
Zeige, dass Wurzel aus 2 irrational ist.
Mein Beweis:
-sei x^2 = 2 in Q lösbar und die rationale Zahl p/q eine Lösung von x^2 =2, d.h. (p/q)^2 = 2, wobei p/q vollständig gekürzt sei, also p und q keinen gemeinsamen Faktor haben
-aus (p/q)^2 = 2 folgt durch Ausmultiplizieren p^2/q^2 = 2 und Multiplikation mit q^2 das: p^2=2q^2
-das bedeutet, p^2 ist gerade
-daraus ergibt sich, dass p gerade ist, da Quadrat v. geraden Zahl gerade ist
-setzt man p = 2r in p^2=2q^2 ein, ergibt sich (2r)^2 = 2q^2
-daraus erhält man durch Kürzen mit 2 2r^2=q^2
-das bedeutet, q^2 ist gerade
-daraus ergibt sich, dass q gerade ist
-nun sind aber p und q durch 2 teilbar, was Annahme, dass p/q vollständig gekürzt ist, widerspricht
Stimmt mein Beweis?
