Bestimmen Sie in Fig.

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie in Fig. 1 die Flächeninhalte der Rechtecke R_1, R₂, R_3.

b) Bestätigen Sie für n = 3: Die Summe der Flächeninhalte aller Rechtecke bis zum Rechteck R_n ist A(n) = 1 - (1/2)ⁿ.

c) Wie groß wird die Summe A(n) höchstens?

Problem/Ansatz:

a) A_R1 = 1 × 0,5 = 0,5 LE

A_R2 = 1 × 0,25 = 0,25 LE

A_R3 = 1 × 0,125 = 0,125 LE

b) Rechteck R_n ist A(3) = 1 - (1/2)^3 = 1 - 1/8 = 7/8

(0,875)

A₁ + A₂ + A₃ = 0,5 + 0,25 + 0,125 = 0,875

c) Verstehe Ich jetzt nicht.

Comments

Das Bild vom Anhang hier:

Answer 1

b) langt nicht. du sollst es allgemein für A(n) nachweisen und nicht nur für A(3)

Nimm z.B. vollständige Induktion.

c)

lim (n → ∞) A(n) = lim (n → ∞) 1 - (1/2)^n = ...

Comments

Ich weiß nicht was Sie bei Teilaufgabe b) mit Induktion meinen und bei Teilaufgabe c) kenne Ich den Ausdruck ,,lim" noch nicht.

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b)

Du kannst auch einen anderen Beweis nehmen. Wichtig ist du zeigst es nicht für eine spezielle Zahl sondern allgemein für ein beliebiges n.

c)

1 - (1/2)^n

Du kannst hier auch mal Werte einsetzen und ausrechnen und Begründen warum der Wert wohl immer kleiner als 1 sein muss, weshalb die Summe höchstens 1 werden kann.

Answer 2

c) Die Summe bleibt immer kleiner als 1, nähert sich aber beliebig dicht an, d.h. 1 ist der Grenzwert der Summe 1/2+1/4+1/8+...

Wenn du von einer Torte die Hälfte nimmst, hast du 1/2.

Vom Rest die Hälfte → 1/4

Vom Rest die Hälfte → 1/8

usw.

Es bleibt immer noch ein immer kleiner werdender Rest. Eine Torte reicht also aus.

:-)