Wie geht man bei der Abwicklung eines Lampenschirmes vor?

Question

Aufgabe:

Wie geht man bei der Abwicklung eines Lampenschirmes vor?

Problem/Ansatz:

Der Kegelstumpf (Lampenschirm) hat folgende Maße:

D = unterer Durchmesser = 508mm

d = oberer Durchmesser = 324mm

h = 508mm

Im Maßstab 1:25 zu zeichnen.

Was muss berechnet werden? Wie zeichnet man eine Abwicklung davon?

Schöne Grüße von Ommel

Comments

Schau mal hier:
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/pdf/kegelstumpf1.pdf

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Kann man die verlängerte Höhe zum vollständigen Kegel nur über den 2. Strahlensatz berechnen oder auch anders?

Wäre das dann in diesem Fall 254/162 = Gesamthöhe/508 ?

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Stimmen die Angaben :Höhe Kegelstumpf 508 mm
und Durchmesser unten auch 508 mm )
Ich denke ich hab die Lösung,
will jetzt aber erst mal Essen.

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Ja, das stimmt, der Kegelstumpf ist nur 508 mm hoch und der untere Durchmesser ist tatsächlich auch 508 mm.

Vielen Dank für die Mühe.

Answer 1

Hallo Ommel,
hier zunächst die Skizze für den Vollkegel

Strahlensatz
h / 304 = ( h + 508 ) / 508
das erste 508 ist die untere Höhe,
das zweite 508 ist der untere Durchmesser.

h = 894.5 mm
insgesamt höhe = 508 + 894.5 = 1402.5 mm
insgesamt Mantellinie
m^2 = ( 508 / 2 )^2 + 1402.5 ^2
m^2 = 2031522
m = 1425 mm
wird der Kegel nun vom unteren Rand bis zur Spitze
aufgeschnitten ist m der Radius des abgewickelten
Teilkreises.

Da du sicherlich keinen Kegel fabrizieren willst ist es einfacher
zu berechnen
Umfang ( Voll-Kreis) = m *2 * pi = 8954 mm
Teilumfang unten = 508 * pi =1596 mm

Winkel des Teilkreises
360 / 8954 = x / 1596
x = 64 °



Jetzt muß das ganze noch für die Kegelspitze gemacht werden

Bei Fragen oder weiteren Berechnungen wieder melden

Comments

Herzlichen Dank georgborn, du hast dir so viel Mühe gemacht, damit es verständlich wird.

Mit dem Strahlensatz komme ich noch mit. Dann fehlen mir schon wichtige Zusammenhänge...

Warum ist die Gesamthöhe 1402,5mm nicht auch der große Radius?

Warum kann ich vom großen Radius = 1425mm nicht einfach 508mm Teilhöhe abziehen, um auf den inneren Radius zu kommen?

Wie heißt die Formel für den Teilumfang in Worten ausgedrückt?

Ich bin noch weit weg vom Verstehen und freue mich sehr, dass du mir alles bis ins Detail erklärst. Vielleicht kannst du mir noch weiter helfen...

Ich habe eben erst gemerkt, dass du nochmal geschrieben hast. Das gucke ich mir jetzt erstmal an. Das kann dauern... (:

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Hallo ommel,

du hast dir so viel Mühe gemacht,
ich bin nicht ganz uneigennützig wenn ich
Anworten schreibe.
Ich bin 66 Jahre und bin wegen Gehirnjoggings
Im Forum um halbwegs geistig fit zu bleiben.

siehe meine erste Skizze :
h = 894.5 mm
insgesamt höhe = 508 + 894.5 = 1402.5 mm
insgesamt Mantellinie
Dreieck linke Seite Pythagoras
c^2 = a^2 + b^2
a = 1402.5 mm
b = 508 / 2 mm
m^2 = ( 508 / 2 )^2 + 1402.5 ^2
m^2 = 2031522
m = 1425 mm

Ich muß jetzt erst einmal einkaufen.
Geht aber nachher weiter.
Bitte teile mir mit ob du den Schritt
verstanden hast.

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hallo georgborn, das finde ich supernett, dass du dich mit 66 Jahren hinsetzt und es Gehirnjogging nennst, wenn du anderen auf die Sprünge hilfst. Besten Dank dafür !!!

Ja, ich verstehe die Höhe ist ja nur in der Mitte vom Kegel. Der Mantel ist außen herum, also brauche ich dafür die Seitenlänge. Ebenso, wenn es dann um den kleineren Radius geht. Der ist ja auch außenherum und ich wollte nur was von der inneren Mitte abziehen...

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Warum ist die Gesamthöhe 1402,5mm nicht auch der große Radius?

Der 'große Radius' (\(|SD|\) in meiner Skizze) ist die Mantelline des Kegels und die Gesamthöhe (\(|SA|\) in meiner Skizze) ist die Höhe des Kegels. Bei geraden Kreiskegeln ist die Mantellinie immer länger als die Höhe.

Warum kann ich vom großen Radius = 1425mm nicht einfach 508mm Teilhöhe abziehen, um auf den inneren Radius zu kommen?

Die Teilhöhe 508mm (entspricht dem \(|AB|\) in meiner Skizze) ist kürzer als das Stück \(|CD|\) auf der Mantellinie. Schaue Dir bitte die beiden Bilder in meiner Antwort noch mal genau an.

Und - ganz wichtig(!) - zeichne sie selber nach. Am besten Du zeichnest es mal auf Papier, schneidest es aus und forme daraus einen Kegelstumpf. Tipp: mach es besser im Massstab 1:10, sonst wird das zu fipsig.

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Ich knüpfe an meine letzte Antwort an.
Du schneidest jetzt den GANZEN Kegel vom
Rand bis zur Spitze auf.

Es entsteht folgende Fläche

Ein angenommener Vollkreis hätte den Umfang
Umfang ( Voll-Kreis) = 1425 * 2 * pi = 8954 mm

Soweit klar ?
Dann zeig an wann es weiter gehen soll.

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Ja, bis dahin ist mir alles klar.

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Die Grundfläche des unteren Kegelstumpf d = 508 mm hat einen Umfang von
508 * pi = 1596 mm
Siehe meine 2.Skizze

Winkel des Kreissegments
360 ° zu 8954 mm = x ° zu 1596 mm
360 ° / 8954 mm = x ° / 1596 mm
x = 64 °

Jetzt wäre es Zeit zum Zirkel zu greifen
und einen Kreis mit 90 ° und r = 14.25 cm
zu zeichnen.
Dann ein Geodreieck zu nehmen und
einen Winkelsegment von 64 ° zu zeichen.
Damit hätten wir das Kreissegment.

Soweit klar ?
Dann zeig an wann es weiter gehen soll.

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Ja, ich habe es gezeichnet. Müssen die 64° genau in der Mitte von den 90° liegen oder direkt an der 90° Linie?

Wie kommt man auf die Verhältnisgleichung, dass der kleine Kreisumfang am Boden im Verhältnis zu dem großen Umkreis steht? Gibt es da sowas ähnliches wie z.B. einen Strahlensatz für Kreise?

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Wo du jetzt 64 ° einzeichnest ist egal.

Ein letzter Schritt :
die Mantellänge des oberen kleinen Kegels
ist c^2 = h^2 + 162 ^2
c^2 = 894.5 ^2 + 162 ^2
c = 909.5 mm

Jetzt zeichne im Segment mit dem Zirkel einen Kreis mit Radius c ( 9.095 cm ) ein.

Damit bist du fertig.

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So solte die Grafik aussehen.

Frag nach bis alle Klarheiten beseitigt sind.

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So lange frage ich dann doch lieber nicht...

Ich hab’s jetzt dank deiner Hilfe bis zum glücklichen Ende gebracht.

Für meinen Zweck teile ich dann noch die 64° in zwei Hälften, so dass sie den richtigen Mittelpunkt haben. Ich habe nämlich zwei Mittelpunktlinien gegeben.

Herzlichsten Dank, dass du mich auf dieser langen Irrfahrt begleitet hast.

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Zum Dank beherzige bis Mitternacht

" Ich will Vater und Mutter ehren als ob sie
meine Eltern wären "

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Ja, auf jeden Fall: „ich werde Vater und Mutter ehren als ob sie meine Eltern wären.“

Da muss ich auch wieder länger drüber nachdenken...

Der Vater muss ja nicht unbedingt der „Erzeuger“ sein, kann aber die Vaterrolle übernehmen und dafür anstelle des leiblichen Vaters geehrt werden und bei der Mutter könnte es ebenso sein.

Meinst du das so? Ich ehre auf jeden Fall dich mit deiner Intelligenz, deinem Einfallsreichtum (mir sowas beizubringen) und deine unendliche Ausdauer.

So sieht es jetzt mit Maßstab 1:10 aus.

Und 1: 25 schaffe ich dann hoffentlich doch mal alleine.

Ganz herzliche Grüße vom glücklichen Ommel ( :

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Noch zur Erheiterung :
In der Kürze liegt die Würze

Warum beantworten Sie Fragen eigentlich
immer mit Gegenfragen ?
Warum nicht ?

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Gut Ding will Weile haben

Was lange währt wird endlich gut

Answer 2

Hallo Ommel,

Was muss berechnet werden?

wenn es im Massstab 1:25 gezeichnet werden soll, so rechne zunächst die Längen in die zu zeichnenden Maße um: $$D' = 2,032 \text{cm}, \quad d'=1,296 \text{cm}, \quad h' = 2,032 \text{cm}$$

Wie zeichnet man eine Abwicklung davon?

Beginne damit, ein Trapez \(ABCD\) zu zeichnen. Mit \(|AB|=h'\), \(|AD|=D'/2\) und \(|BC|=d'/2\).

Die Spiegelung von \(C\) und \(D\) an \(AB\) ist dann der vollständige Querschnitt durch den Lampenschirm. (\(C'\) und \(D'\) brauchst Du aber nicht zeichnen). Die Gerade durch \(AB\) ist die Rotationsachse des Kegelstumpf und die Verlängerung von \(CD\) (die Mantellinie) schneidet die Rotationsachse in \(S\). \(S\) ist die Spitze des zugehörigen Kegels.

Wenn man nun zwei Kreise mit den Radien \(|SC|\) und \(|SD|\) zeichnet, braucht man bloß noch den gelben Winkel \(\varphi\) des Kreisringssektors. Der berechnet sich aus dem Verhältnis der Radien:$$\varphi = \frac{\frac 12 D'}{|SD|} \cdot 360° \approx 64,2°, \quad |SD| \approx 5,7 \text{cm}$$zeichne den Winkel \(\varphi = 64,2°\) bei \(S\) ein. Sein Schenkel schneidet die beiden Kreise in \(E\) und \(F\).

Die abgewickelte Fläche des Lampeschirms ist der Kreisringsektor \(CEFD\). Ich habe Dir zur Veranschaulichung noch den Deck- (hellblau) und Grundkreis (blau) hinzu gezeichnet. Der Umfang dieser Kreise muss genauso lang sein, wie der Kreisbogen gleicher Farbe.

... und zur weiteren Veranschaulichung das ganze in 3D:

klick auf das Bild, dann kannst Du die Szene mit der Maus rotieren und bekommst einen besseren räumlichen Eindruck

Comments

Hallo,
ich habe meine Lösungen noch nicht mit den
deinen verglichen ( werde ich mit allen Antworten mal machen ).
Bei mir kommt ein Radius von 1425 mm und ein
Segmentwinkel von 64 ° heraus
Am einfachtsen erscheint es mir einen Teilkreis
mit einem Zirkel von r = 1425 mm und ca 90 ° zu zeichnen und dann das Segment auf 64 ° zu verkleinern.
Die obere Spitze wäre ebenso einzeichnen.
mfg Georg

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Bei mir kommt ein Radius von 1425 mm ..

kann sein; ist aber unnötig. Es reicht aus, mit den gegebenen Maßen das Trapez (s. meine Antwort) zu zeichnen und die Strecke \(|SD|\) auszumessen. Ommel soll es ja zeichnen und nicht rechnen.

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Hallo Werner-Salomon,

Vielen Dank für die anschauliche Lösung. Ich verstehe die Berechnung vom Winkel des Kreisringsektors leider noch nicht. „Man setzt die Radien ins Verhältnis.“ Aber SD ist doch die Seitenlänge und kein Radius?

Ich könnte das eher so verstehen:

360° entsprechen ........

X ° entsprechen dann......

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Die Länge der aufgetrennten Mantelseite wird zum Radius eines gedachten Vollkreises
Umfang ( Voll-Kreis) = 1425 * 2 * pi = 8954 mm
Die Grundfläche des Kegelstumpf = 508 mm
hat den Umfang
Teilumfang unten = 508 * pi =1596 mm
Siehe meine Skizze

Winkel Vollkreis 360 °  Umfang 8954 mm
Teil-Umfangslänge Segment 1596 mm
Ins Verhältnis setzen
360 ° zu 8954 mm = x °  zu 1596 mm
360 ° / 8954 mm = x °  /  1596 mm
x = 64 °

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Aber SD ist doch die Seitenlänge und kein Radius?

\(\overline{SD}\) ist die Mantellinie des gesamten Kegels, wenn man sich den Kegelstumpf bis zur Spitze \(S\) erweitert denkt.

Zum Verständnis ist es wichtig, das zweite Bild oben zu verstehen. Der Kegelstumpf (also der Lampenschirm) liegt auf der XY-Ebene und rollt in Richtung der X-Achse ab. Bei genau einer Umdrehung berührt er die lila markierte Fläche auf der XY-Ebene. Die Bahn, die der Kegelstumpf dabei zurück legt, ist eine Kreisbahn. Es ist die gleiche Kreisbahn, die ein vollständiger Kegel zurück legen würde, wenn er so abrollt. Die Spitze \(S\) dieses Kegels läge dann genau im Ursprung bzw. im Mittelpunkt der Kreisbahn.

Wenn man sich nur den unteren - also größeren - Kreis am Kegelstumpf anschaut, so sieht man, dass dieser auf der Kreisbahn von \(D\) nach \(F\) abrollt. Im ersten Bild oben habe ich diesen Kreis blau gestrichelt markiert. Die Kreisbahn hat den Radius \(|SD|\) und der zugehörige Kreis hätte den Umfang \(2\pi |SD|\). Der Umfang des blau gestrichelten Kreises hat den Umfang \(2\pi D'/2\).

Folglich entsprechen \(2\pi |SD|\) dem Vollkreis - also 360° und \(2\pi D'/2\) dem gesuchten Winkel \(\varphi\), der durch das Abrollen des Grundkreises auf der Kreisbahn \(DF\) (blau) entsteht.

Also gilt für den Winkel \(\varphi\) - gelb markiert im ersten Bild oben: $$ \frac{\varphi}{\pi D'} = \frac{360°}{2\pi |SD|} \implies \varphi = \frac{D'}{2 |SD|} \cdot 360°$$Wenn Du das Trapez \(ABCD\) gezeichnet hast und den Punkt \(S\) konstruiert hast, so kannst Du \(|SD|\) einfach ausmessen \(|SD| \approx 5,7\text{cm}\).

Bem.: \(D'\) ist der Durchmesser in der Zeichnung und \(D\) ist ein Punkt. Bitte nicht verwechseln.

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Hallo Werner_Salomon,

vielen Dank für die Super-Erklärung und den Tip, es mal 1:10 aufzumalen. Trotzdem frage ich mich, warum der Teilauschnitt (bei mir AB) mit 508 * Pi berechnet wird. Ist 508 die Teilhöhe? Einfach Pi * r ... warum?

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Trotzdem frage ich mich, warum der Teilauschnitt (bei mir AB) mit 508 * Pi berechnet wird.

Der Durchmesser \(D\) des Grundkreises ist 508mm. Super dass Du Dir den Kegelstumpf gebastelt hast!

Messe doch mal den Durchmesser nach; er sollte bei Dir jetzt gut 50mm betragen. Markiere eine Stelle am Kegelstumpf und lege ihn so auf Deine Zeichnung, dass die Markierung auf Deinem Punkt \(B\) liegt. Dann rolle ihn in Richtung \(A\) ab. Dabei berührt doch der Grundkreis stets den Kreisbogen \(AB\) - oder nicht?

Also müssen doch der Kreisbogen von \(A\) nach \(B\) oder \(B\) nach \(A\) - das ist egal - und der Umfang des Grundkreises gleich lang sein. Ist das verständlich?

Der Umfang \(U_G\) des Grundkreises mit Durchmesser \(D\) ist $$U_G  = \pi \cdot D$$ (s. Kreisumfang).

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Ja, stimmt, er ist ca. 50 mm.

508 ist ja der untere Durchmesser und * Pi der Umfang der Standfläche.

Ich dachte nur, 1425 * 2 * Pi wäre genau dieser untere Umfang. Das ist ja der Umfang, wenn man den Kegelstumpf komplett einmal über die Seite ausrollt.

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Das ist ja der Umfang, wenn man den Kegelstumpf komplett einmal über die Seite ausrollt.

Ja - wobei das mehr als eine Umdrehung ist. Also wenn man den Kegelstumpf solange rollt, bis er wieder am Ausgangsort ankommt. Dann hat der Grundkreis die Strecke von \(2\pi \cdot |SD|\) zurück gelegt.

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Verstanden. Nun müsste ich das ganze noch zeichnen und es soll so in etwa aussehen.

Links ist die Vorderansicht denke ich. Und rechts daneben soll die Abwicklung hin. Kann man den Radius 1425 mm in 12 gleich große Teile teilen und links und rechts auf den unteren Kreisumfang verteilen? Wenn ja, warum?

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Links ist die Vorderansicht denke ich ...

ist eher eine Schnittzeichnung. So als ob Du den Kegelstumpf entlang seiner Rotationsachse durchschneidest.

Kann man den Radius 1425 mm in 12 gleich große Teile teilen ...

kann man schon, aber was macht das für einen Sinn?

... und links und rechts auf den unteren Kreisumfang verteilen?

Du meinst den Kreisbogen der Abwicklung. Dann - nein! Der Kreisbogen hat auf dem Papier bei Massstab 1:10 die Länge \(\pi \cdot 50,8 \text{mm} \approx 160 \text{mm}\) und ist damit ungleich zu dem Radius \(|SD| \approx 142,5 \text{mm}\). Warum sollte das auch gleich sein?

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Das habe mal so gesehen, ... also falsch, dann brauche ich nicht weiter drüber nachdenken. Danke.

Answer 3

Ich würde mal erst den Kegelstumpf durch einen zusätzlichen aufgesetzten Kegel

der Höhe k und mit Durchmesser d zu einem ganzen Kegel ergänzen.

Dann gilt k/ (k+h) = d / D also

k=d*h/(D-d) ==>  k=895 mm.

Der aufgesetzte Kegel hat als Durchmesser des Grundkreises ja d

und somit hat dieser den Umfang d*pi = 1018 mm.

Beim Abwickeln des Mantels entsteht ein Kreissektor mit der

Bogenlänge 1018 mm dem Radius s (Das ist eine Seitenlinie des

auf gesetzten Kegels. ) und dem Mittelpunktswinkel α.

s kannst du mittels Pythagoras berechnen

s^2 = (d/2)^2 + k^2 ==>   s = 910 mm.

Damit ergibt sich für den  Kreissektor nach der Formel b= 2*pi*r*α /360°

1018 mm = 2 * pi * 910 mm * α /360°

==>  α = 61,1°

Damit kannst du diesen Teil ja schon mal zeichnen und musst jetzt nur

noch wissen wie weit du vom Kreismittelpunkt aus die Begrenzungslinien

des Sektors verlängern muss, damit du den angewickleten

Mantel des Kegelstumpfes erhältst.

Dazu brauchst brauchst du die Seitenlinie z des gesamten Kegels,

die bekommst du auch mit Pythagoras

z^2 = ( k+h)^2 + (D/2)^2 ==>  z = 1426 mm.

Jetzt kannst du zeichnen. Das blaue Stück ist die gesuchte Abwicklung.

~draw~ kreissektor(-10|0 14.26 0 61.1);kreissektor(-10|0 9.1 0 61.1);zoom(20) ~draw~