Wie viel Wirkstoff ist um 22 Uhr noch im Körper?

Question

Aufgabe:

Aspirin, ein bekanntes schmerzstillendes Mittel, enthält als Wirkstoff Acetylsalizylsäure, der vom Körper exponentiell abnehmend ausgeschieden wird. Erfahrungsgemäß hat ein Körper nach 3 Stunden die Hälfte des Wirkstoffs ausgeschieden. Einem Patienten wird um 6,12, und 18 Uhr je eine Tablette mit 0,5g Wirkstoff verabreicht.

a) Stellen Sie das allgemeine Zerfallsgesetz auf 2 Arten dar, und berechnen Sie, wie viel Wirkstoff zu den jeweiligen Zeiten im Körper vorhanden ist!

b) Wie viel Wirkstoff ist um 22 Uhr noch im Körper?

c) Zu welcher Uhrzeit sind nur mehr 0,01g im Körper?

Problem/Ansatz:

Rechenweg und Formel

Answer 1

a) Stellen Sie das allgemeine Zerfallsgesetz auf 2 Arten dar, und berechnen Sie, wieviel Wirkstoff zu den jeweiligen Zeiten im Körper vorhanden ist!

m(t) = m·0.5^(t/3) = m·(0.5^(1/3))^t = m·0.7937^t = m·e^(-0.2310·t)

Um 6 Uhr nach der Einnahme: 0.5 g
Um 12 Uhr vor der Einnahme: 0.5·0.5^(6/3) = 0.125 g
Um 12 Uhr nach der Einnahme: 0.5·0.5^(6/3) = 0.625 g
Um 18 Uhr vor der Einnahme: 0.625·0.5^(6/3) = 0.1563 g
Um 18 Uhr nach der Einnahme: 0.625·0.5^(6/3) = 0.6563 g

b) Wie viel Wirkstoff ist um 22 Uhr noch im Körper?

0.6563·0.5^(4/3) = 0.2605 g

c) Zu welcher Uhrzeit sind nur mehr 0.01 g im Körper?

0.6563·0.5^(t/3) = 0.01 → t = 18.11 = 18:08 Stunden später
18:00 + 18:08 = 12:08 Uhr

Answer 2

N(t)=No*a^(t)

0<a<1 exponentielle Abnahme

um 6 Uhr → No=0,5 g

nach t=3 Stunden N(3)=No/2N(3)=No/2=No*a^(3)
1/2=0,5=a³  → a=3.te Wurzel(0,5)=0,7937..
Formel N(t)=No*0,79^(t)
bei t=6 Stunden → 12 Uhr
N(6)=0,5*0,79^(6)=0,1215..g bei 12 Uhr dann wieder 0,5 g Einnahme
N(6)=(0,1215+0,5)*0,79⁶=0,151.. g bei 18 Uhr dann wieder 0,5 g Einnahme
N(4)=(0,151+0,5)*0,79^4=0,2535.. bei 22 Uhr
c) N(t)=0,01 g=0,151g+0,5 g)*0,79^(t)
0,01/(0,151+0,5)=0,01536..=0,79^(t)  logarithmiertln(0,01536)=ln(0,79^(t))=t*ln(0,79)   siehe Mathe-Formelbuch Logarithmengesetz log(a^x)=x*log(a)
t=ln(0,01536)/ln(0,79)=17,716 Stunden ab 18 Uhr
~plot~0,651*0,79^(x);[[0|18|0|0,7]];x=17,51~plot~