Abbau einer medizinischen Substanz im Blut (Zerfall)

Question

Hallo Mathefreunde,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

2 Std nach Einnahme einer Substanz befinden sich 450 mg der Substanz im Blut.

6 Std. nach der 1. Messung nur noch 150 mg.

a) Leite die Zerfallsfunktion ab.

zu a) bin ich so vorgegangen, dass ich die beiden Messungen als Punkte auf dem Graphen interpretiert habe und somit auf folgende Gleichungen kam:

450 = a * b²                 ∧      150 = a * b⁸
  ⇒    a = 450/b²               ∧ ⇒ 150 = 450/b² * b⁸
  ⇒                                      ∧ ⇒ 150 = 450 * b⁶       
                                            ∧ ⇒ 1/3 = b⁶
                                            ∧ ⇒ b = ⁶√(1/3)

In P eingesetzt steht dann:

450 = a * ⁶√(1/3)² | : ⁶√(1/3)²
  ⇒    a = 450/(⁶√(1/3)²)

Mein Zerfallsgesetzt wird damit zu einem sehr unhandlichen Term:

⇒    f(x) = 450/(⁶√(1/3)²) * ⁶√(1/3)^x

Ich habe die Probe mit f(8) gemacht und erhalte f(8) = 150. Scheint also korrekt zu sein.

Bei allen weiteren Aufgaben muss ich diese Formel verwenden. Schon das Eintippen in den TR ist eine Qual.
1. Frage: Geht das nicht einfacher?

b) Berechne die ursprünglich eingenommene Menge der Substanz

Eingesetzt ergibt sich die Gleichung:

f(0) = 450/(⁶√(1/3)²) * ⁶√(1/3)⁰  
⇒  f(0) = 450/(⁶√(1/3)²) ~ 649,01 mg

c) Welche Menge ist nach einem, bzw. nach zwei Tagen noch im Blut? Hier ergeben sich nach Einsetzen f(24) = 8,01 mg und f(48) = 0,099 mg. Ich kann nicht validieren, ob diese Ergebnisse richtig sind. Das Ausrechnen der komplizierten Terme ist eine Qual. 2. Frage: Sind die berechneten Werte richtig? Könntet ihr das mal bitte gegenrechnen?

d) Nach wie vielen Stunden sinkt die Menge unter den Grenzwert von 10 mg?

Hierzu berechne ich
10 = 450/(⁶√(1/3)²) * ⁶√(1/3)¹⁰ aber bekomme 33,27 Std. als Ergebnis, was ja aber aufgrund der Ergebnisse zu c) nicht passt.

3. Frage: Was mache ich hier falsch?

Ich hoffe auf und bedanke mich schon im Voraus für eure Hilfe.

Comments

ich konnte mit Hilfe des Graphen die Ergebnisse von c) überprüfen. Sie sind korrekt.

Bei d) müsste das Ergebnis ~ 22,79 Std lauten. Wäre für Hinweise, auf das, was ich bei der Berechnung falsch gemacht haben könnte dankbar.

Answer 1

a)

eine (exponentielle) Zerfallsfunktion  kann man mit der Gleichung

  f(t) = f(0) • e ^{- k • t}  ansetzen.

Den Zeitpunkt t = 0 kann man beliebig festsetzen, am besten so, dass man f(0) direkt aus dem Aufgabentext kennt. Im Beispiel:

t = 0  2Std. nach Einnahme, t in Std   → f(0) = 450  [ Funktionswerte in mg ]

→     f(t) = 450 • e ^{- k • t}  

die Zerfallskonstante k bestimmt man dann aus der Gleichung

f(6) = 450 • e ^{- 6k} = 150  →  k = 0,1831020414 ≈ 0,1831   und damit

  Zerfallsgesetz:     f(t) = 450 • e ^{- 0,1831 • t} 

b)  f( - 2) ≈ 649  [mg]

c)

ein Tag nach der Entnahme:  f(22) ≈ 8,01 [mg]

2 Tage ....   f(46) ≈ 0,099 [mg]

d)   450 • e ^{- k • t}  = 10   →   t  ≈ 20,79 [h]

Gruß Wolfgang

Comments

Guten Morgen Wolfgang,

Mit e sieht das schon viel besser aus :)

Ich werde nachher mal nachrechnen, ob f(10) wirklich 20,79 sind, oder wie bei mir 22,79.

Hab übrigens gestern Abend noch so lange mit dem komplizierten Ausdruck herumhantiert, bis ich einen einfachen Term erhielt.

Durch Anwendung der Logarithmusgesetze hatte ich zum Schluß einen einfachen Bruch auszurechnen.

Nichtsdestotrotz ist der von dir beschriebene Weg einfacher.

Hab einen schönen Tag!

VG

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f(10) ≠ 29,79 !

Du erhältst t = 29,79 durch Umformung mit dem Logarithmus.