Berechnen Sie die Gleichung der Ebene und geben Sie diese in allgemeiner Form ein.

Question

ich hab Probleme hierfür den Normalvektor der Ebene aufzustellen. Beim Kreuzprodukt kommt immer der Nullvektor raus

Aufgabe:

Die beiden Geraden \( f \) und \( h \) spannen die Ebene \( \varepsilon \) auf. Berechnen Sie die Gleichung der Ebene \( \varepsilon \) und geben Sie diese in allgemeiner Form ein.

\( f: X=\left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}6 \\ -2 \\ -3\end{array}\right) \)

\( h: X=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ -3\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}6 \\ -2 \\ -3\end{array}\right) \)

Berechnen Sie weiters den Abstand der Geraden \( g \) von der Ebene \( \varepsilon \). \( g: X=\left(\begin{array}{c}-15 \\ 1 \\ 11\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-14 \\ 0 \\ 14\end{array}\right) \)

Answer 1

Die Geraden sind parallel. D.h. du brauchst zunächst den Verbindungsvektor von der einen zur anderen Graden.

[-1, 1, -3] - [-2, -1, 1] = [1, 2, -4]

[1, 2, -4] ⨯ [6, -2, -3] = [-14, -21, -14] = - 7·[2, 3, 2]

Der Normalenvektor ist also [2, 3, 2].

Willst du es dann mal alleine weiter Probieren?

Comments

danke!:) hab's jetzt raus

Answer 2

Aloha :)

Die Aufgabenstellung bei der (a) ist irreführend. \(f\) und \(h\) sind 2 parallele Geraden. Diese liegen natürlich in einer Ebene, sie spannen sie aber nicht auf. Der Richtungsvektor der beiden Geraden ist derselbe, das ist ein Richtungsvektor unserer Ebene. Der Vektor vom Aufpunkt von \(f\) zum Aufpunkt von \(h\) liegt auch in der gesuchten Ebene. Das ist unser zweiter Richtungsvektor. Als Aufpunkt für die Ebene nehmen wir den Aufpunkt von \(f\), weil beide Richtungsvektoren von ihm aus starten. Nach diesen Überlegungen können wir die Ebenengleichung aufstellen:

$$\vec n=\begin{pmatrix}6\\-2\\-3\end{pmatrix}\times\left[\begin{pmatrix}-1\\1\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}6\\-2\\-3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14\\21\\14\end{pmatrix}$$Damit können wir die Ebenengleichung formulieren:

$$E:\;\vec n\cdot\vec x-\begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix}\cdot n=0$$$$E:\;\begin{pmatrix}14\\21\\14\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}14\\21\\14\end{pmatrix}=0$$$$E:\;14x+21y+14z-(-28-21+14)=0$$$$E:\;14x+21y+14z-(-28-21+14)=0$$$$E:\;14x+21y+14z+35=0$$$$\boxed{E:\;2x+3y+2z+5=0}$$

Die Gerade \(g\) läuft parallel zur Ebene, denn das Skalarprodukt aus ihrem Richtungsvektor und dem Normalenvektor der Ebene ist null. Wir können also einen beliebigen Punkt der Geraden nehmen, um den Abstand zur Ebene zu ermitteln. Natürlich bietet sich der Aufpunkt \((-15;1;11)\) der Geraden \(g\) an. Setzen wir diesen Aufpunkt in die Ebenengleichung ein, stellen wir fest, dass er die Ebenengleichung erfüllt. Der Aufpunkt der Geraden \(g\) liegt also in der Ebene. Der gesuchte Abstand ist also:$$\boxed{d=0}$$