Aloha :)
zu a) Es reicht zu zeigen, dass der Vektor \(\vec n=(1;2;-2)\) senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene steht:
$$\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=2+0-2=0\quad\checkmark$$$$\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=0+2-2=0\quad\checkmark$$Mit dem Aufpunkt \((2;0;0)\) der Ebene und deren Normalenvektor \(\vec n=(1;2;-2)\) können wir die Ebenengleichung wie folgt formulieren:$$\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\quad\implies\quad x+2y-2z=2$$
zu b1) Die Geradengleichung können wir sofort angeben:$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\lambda\\2+2\lambda\\-2\lambda\end{pmatrix}$$Den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene finden wir durch Einsetzen der Koordinaten von \(g\) in die Koordinatenform der Ebene:$$2=\underbrace{(1+\lambda)}_{=x}+2\underbrace{(2+2\lambda)}_{=y}-2\underbrace{(-2\lambda)}_{=z}=5+9\lambda\quad\implies\quad\lambda=-\frac13$$Der Schnittpunkt liegt also bei \(\quad S\left(\frac23\big|\frac43\big|\frac23\right)\)
zu b2) Da wir den Schnittpunkt \(S\) von Gerade und Ebene schon kennen, können wir den gespiegelten Punkt \(A\) sofort hinschreiben:
$$\vec a'=\vec a+2\cdot\overrightarrow{AS}=\vec a+2(\vec s-\vec a)=2\vec s-\vec a=\begin{pmatrix}\frac43\\[1ex]\frac83\\[1ex]\frac43\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac13\\[1ex]\frac23\\[1ex]\frac43\end{pmatrix}$$Der gespiegelte Punkt ist also: \(\quad A'\left(\frac13\big|\frac23\big|\frac43\right)\)
