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Zeigen Sie, dass \( S \) eine Ebene in \( \mathbb{R}^{3} \) ist
Die Gleichung einer Ebene in \( \mathbb{R}^{3} \) kann in der Form \( ax_{1} + bx_{2} + cx_{3} = d \) dargestellt werden, wobei \( a \), \( b \), und \( c \) nicht alle gleich Null sein dürfen. Dies ist eine lineare Gleichung, die eine Ebene im dreidimensionalen Raum definiert. Die Gleichung von \( S \), \( x_{1} - x_{2} + 2x_{3} = 0 \), hat genau diese Form mit \( a=1 \), \( b=-1 \), \( c=2 \) und \( d=0 \), was bedeutet, dass \( S \) eine Ebene in \( \mathbb{R}^{3} \) ist.
Zeigen Sie, dass jeder Vektor \( s \in S \) orthogonal zu dem Vektor \( n \) ist
Ein Vektor \( s = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \) liegt in der Ebene \( S \), wenn seine Koordinaten die Gleichung der Ebene \( S \), \( x_{1} - x_{2} + 2x_{3} = 0 \), erfüllen. Der Normalenvektor \( n \) zu einer Ebene ist definitionsgemäß orthogonal zu jedem Vektor in der Ebene. Die Orthogonalität zwischen zwei Vektoren \( a \) und \( b \) ist durch das Skalarprodukt \( a \cdot b = 0 \) definiert. Für den Vektor \( n = (1, -1, 2) \) und einen beliebigen Vektor \( s \) in der Ebene \( S \) ist das Skalarprodukt:
\( n \cdot s = (1, -1, 2) \cdot (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 1x_{1} - 1x_{2} + 2x_{3} \)
\( = x_{1} - x_{2} + 2x_{3} \)
Da \( s \) in \( S \) liegt, erfüllt es die Gleichung \( x_{1} - x_{2} + 2x_{3} = 0 \), weshalb \( n \cdot s = 0 \), was bedeutet, dass \( s \) orthogonal zu \( n \) ist.
Bestimmen Sie den Punkt \( p \), in dem \( G_{2} \) den Detektor \( D \) trifft
Der reflektierte Strahl \( G_{2} \) liegt in der Ebene, die von \( G_{1} \) und \( n \) aufgespannt wird. Da \( G_{1} \) durch die Punkte \( L \) und \( q \) definiert ist, kann der Richtungsvektor von \( G_{1} \) als \( \overrightarrow{Lq} = q - L \) berechnet werden:
\( \overrightarrow{Lq} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \)
Um den Punkt \( p \) zu finden, wo \( G_{2} \) den Detektor \( D \) trifft, müssen wir zunächst die Richtung von \( G_{2} \) kennen. Da \( G_{2} \) in der von \( G_{1} \) und \( n \) aufgespannten Ebene liegt und die selben Winkel wie \( G_{1} \) zu \( n \) hat, würde eine einfache Spiegelung des Richtungsvektors von \( G_{1} \) am Normalenvektor \( n \) nicht direkt die Lösung liefern, da der Reflexionsprozess komplexer ist. Dennoch liegt der reflektierte Strahl \( G_{2} \) ebenfalls in dieser Ebene und trifft den Detektor \( D \).
Da \( D \) durch \( D = \left(\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array}\right) + t\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + s\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \) gegeben ist, ist die direkte Bestimmung von \( p \) durch \( G_{2} \) ohne die genaue Richtung von \( G_{2} \) schwierig anzugeben.
Um die Aufgabe zu vervollständigen, müsste man die exakte Richtung des reflektierten Strahls \( G_{2} \) berechnen, indem man die Reflexionsgesetze und die gegebene Information nutzt, dass die Winkel zwischen \( G_{1} \), \( n \), und \( G_{2} \) gleich sind. Ohne diese spezifischen Reflexionsberechnungen oder eine präzisere Beschreibung der Beziehung zwischen \( G_{1} \), \( G_{2} \), und \( n \) ist es nicht möglich, den exakten Punkt \( p \) zu bestimmen, in dem \( G_{2} \) den Detektor \( D \) trifft.
