Untersuchen sie mithilfe der Taylorschen Formel ob es sich um eine globale Extremstelle handelt

Question

Aufgabe:

Untersuchen sie mithilfe der Taylorschen Formel ob es sich um eine globale Extremstelle handelt

Problem/Ansatz:

Die Funktion: f(x,y) = 6x^{1/2}*y^{1/3}-3x-y

Ich muss erst kritische Stellen finden, diese auf lokale Extrema untersuchen und dann diese lokalen Extrema anhand der Taylor Formel auf global überprüfen.

Ich habe ein lokales Maximum bei (4,8) gefunden.

Mit der Taylor Formel weiß ich leider nichts anzufangen :D Könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Answer 1

Analog zum eindimensionalen Fall \(T_1f(x;a)=f(a)+f'(a)(x-a)\) des Taylorpolynoms haben wir im mehrdimensionalen Fall:$$T_1f(x;a)=f(a)+\nabla f(a)^T(x-a)$$ Für dein Beispiel mit \(a=(4,8)\) gilt, dass:$$T_1(x,y)=f(a)+\nabla f(a)^T(x-a)=4$$ Was sagt dir das?

Comments

Also anhand des Graphen meine ich zu erkennen, dass es ein globales Maximum an diesem Punkt ist, aber ich verstehe nicht woran man das in der Formel sieht.

Und wenn a=(4,8) was ist dann das x in der Funktion?

Tut mir echt leid wenn das hier dumme Fragen sind aber ich steh bei dem Thema echt total auf dem Schlauch ^^

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\(x=(x_1,....,x_n)^T\) und \(a=(a_1,...,a_n)\).

Also in deinem Fall \(x=(x_1,x_2)\) und \(a=(a_1,a_2)\).

Weißt du, dass \(T_1^a(x,y)=4\) eine Ebene beschreibt (genauer die "x-y-Ebene" auf der Höhe z=4\).

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Soweit ich weiß geht es bei den Taylorpolynomen um das annähren an eine Funktion.

Inwiefern löst das aber das Extremstellen Problem?

Außerdem: wie setzt man überhaupt den Gradienten in die Formel ein, da es ja 2 Funktionen sind und was genau ist das "^^T" ?

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Was kannst du denn im zweidimensionalen Fall (gewöhnliche Kurvendiskussion) über die Tangente sagen an einer Extremstelle?

"Hoch T" steht für "transponiert".

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wie setzt man überhaupt den Gradienten in die Formel ein

$$\nabla f(4,8)=\left. \begin{pmatrix}6\frac{1}{2\sqrt{x}}y^{1/3}-3\\2\sqrt{x}y^{-2/3}-1 \end{pmatrix}\right |_{x=4}^{y=8}=\begin{pmatrix} 6\cdot \frac{1}{2\sqrt{4}}\cdot 8^{1/3}-3\\2\sqrt{4}\cdot 8^{-2/3}-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}$$

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Naja, also die Tangente einer Extremstelle ist waagerecht, weshalb man Nullstellen in der Ableitung sucht um diese Stellen zu finden.

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Und, gehen wir nun eine Dimension weiter: Was ist denn das dreidimensionale Pendant zu einer Tangente? Eine Tangentialebene. Ist dir bewusst, was \(T_1(x,y)=4\) beschreibt?

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Ne, leider absolut nicht..

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Dein Taylorpolynom ersten Grades ist \(T_1(x,y)=4\). Jeden \((x,y)\)-Paar wird ein Wert auf der \(z\)-Achse zugeordnet, man schreibt \((x,y)\mapsto z\).

\(T_1(x,y)=z=4\) bedeutet, dass jedes Wertepaar (x,y) auf z=4 abgebildet wird.

z=4 kennst du vielleicht noch aus der Schule: Das ist die Koordinantenform einer Ebene mit Normalenvektor (0,0,1) und ist auschnittsweise durch die blaue Ebene in der Skizze angedeutet.