In welchen Fällen handelt es sich um globale Extrema?

Question

ich hab für die folgende Aufgabe alle lokale Extrema Stellen bestimmt. und brauche noch Hilfe bei dieser Teil-Aufgabe.

also ich weiß, was die Globale Extrema sind, jedoch weiß ich nicht genau, was ich da machen/ausrechnen soll, um die folgende Frage richtig zu beantworten.

f : R² → R, (x,y) ↦ f(x,y) = x y exp(\( \frac{-1}{2} \)(x²+y²)) .

In welchen Fällen handelt es sich um globale Extrema?

Answer 1

f(x, y) = x·y·e^(-1/2·(x^2+y^2))

Gradient

f'(x, y) = [y·e^(- x^2/2 - y^2/2)·(x + 1)·(1 - x), x·e^(- x^2/2 - y^2/2)·(y + 1)·(1 - y)]

--> Kritische Stellen (x = -1 ∧ y = -1) ∨ (x = -1 ∧ y = 1) ∨ (x = 1 ∧ y = -1) ∨ (x = 1 ∧ y = 1) ∨ (x = 0 ∧ y = 0)

Hesse-Matrix

f''(x, y) = [x·y·e^(- x^2/2 - y^2/2)·(x^2 - 3), e^(- x^2/2 - y^2/2)·(x + 1)·(x - 1)·(y + 1)·(y - 1); e^(- x^2/2 - y^2/2)·(x + 1)·(x - 1)·(y + 1)·(y - 1), x·y·e^(- x^2/2 - y^2/2)·(y^2 - 3)]

f''(0, 0) = [0, 1; 1, 0]
f''(-1, -1) = [- 2·e^(-1), 0; 0, - 2·e^(-1)]
f''(-1, 1) = [2·e^(-1), 0; 0, 2·e^(-1)]
f''(1, -1) = [2·e^(-1), 0; 0, 2·e^(-1)]
f''(1, 1) = [- 2·e^(-1), 0; 0, - 2·e^(-1)]

Comments

Hallo,  vielen lieben Dank für die Antwort.

Es geht aber um die Frage, in welchen Fällen es sich um globale Extrema handelt.

also ich habe schon die lokale Extrema bestimmt, habe aber keine Ahnung, was ich da noch machen soll, um zu wissen, ob es sich auch um globale Extreme handelt.

würde mich sehr freuen, wenn du mir weiterhelfen würdest.

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Habt ihr nicht die Untersuchung eventuell mit der Hesse-Matrix gemacht. Das war zumindest der Grund warum ich sie dir als Hinweis berechnet habe.

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falls du die Definitheit bzw. Indefinitheit und semidefinitheit  meinst, dann JA. das haben wir schon.

aber so weit ich weiß, das hilft dabei, nur lokale Extrema zu bestimmen.

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Ok. Da hast du recht. Dann gebe ich dir noch den Tipp das Verhalten für x oder y gegen unendlich zu untersuchen.

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\( \lim\limits_{x\to\infty} \) f(x,y) = x y exp (-1/2(x²+y²))  = - Unedlich

Das heißt, es handelt sich hier nicht um globale Extrema. Ist das richtig?

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Ich weiß zwar nicht wie du darauf kommt, richtig ist es aber nicht.

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erstmal Danke für den Graph, das hat das Ganze jetzt verdeutlicht.

wie kann ich aber jetzt zeigen, dass es sich doch um globale Extrema handelt? , ohne den Blick auf den Graph zu werfen, denn es ist nicht einfach mit dem Graph in der Klausur.

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Zeige das Verhalten für unendlich große und kleine Werte der Unbekannten richtig.

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ich glaube , wegen exp (-1/2(x²+y²)) wird der Grenzwert 0 ergeben für - und + unendlich.

habe ich den dies Mal richtig ausgerechnet?

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ja. das ist richtig.

und damit sind die lokalen extrempunkte dann auch die globalen extrempunkte.

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ohh super. das heißt, immer wenn der Grenzwert existiert,  sind die lokalen Extrempunkte dann auch die globalen Extrempunkte.

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die Grenzwerte dürften natürlich nicht unter oder über den lokalen extrempunkten liegen.