Bestimmen Sie zu an+1 = 7an - 12an-1 mit a0 = 1 und a1 = 0 und n≥1 die geschlossene Formel.

Question

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Bestimmen Sie zu a_n+1 = 7a_n - 12a_n-1 mit a₀ = 1 und a₁ = 0 und n≥1 die geschlossene Formel.

Allgemein kenn ich die Vorgehensweise:

1.Matrix aufstellen

2.Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen.

3.S * Dⁿ * S^-1 berechnen.

Meine Frage ist jedoch wie ich die Matrix aufstelle?

Habe daran gedacht einfach in die Formel einzusetzen, also $$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 12 \end{matrix} \right) $$

Das kann es aber leider nicht sein, denn ich komme dadurch auf falsche Werte.

:)

Comments

Muss es zwangsweise mit der von dir eingeführten Methodik ablaufen?

Answer 1

Mache den Ansatz \( a_n = \lambda^n \). Durch einsetzten folgt eine Gleichung für \( \lambda \) nämlich $$ \lambda^2 -7 \lambda +12= 0 $$ mit den Lösungen \( \lambda_1 = 4 \) und \( \lambda_2 = 3 \)

Damit sieht die allg. Lösung so aus $$  a_n = c_1 4^n + c_2 3^n $$ Aus den Anfangsbedingungen werden \( c_{1,2} \) bestimmt. Es ergibt sich das Gleichungssystem $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} $$ mit den Lösungen \( c_1 = -3 \) und \( c_2 = 4 \).

Also sieht die Lösung so aus $$ a_n = 4 \cdot 3^n -3 \cdot 4^n $$

Comments

Dieses Vorgehen meine ich, viel eleganter als die Lösungsanweisung des Fragestellers!

---

Das ist bei linearen Differenzengleichunge der Standardweg.

Answer 2

a(n + 1) = 7a(n) - 12a(n - 1)

a0 = 1

a1 = 0

a2 = -12

a3 = -84

a4 = -444

Die Matrix wäre für mich

M = [0, 1; -12, 7] = [1, 1; 3, 4] * [3, 0; 0, 4] * [4, -1; -3, 1]

Damit erhalte ich die Formel

an = 4·3^n - 3·4^n

Comments

ich verstehe leider immer noch nicht wie du genau auf die Matrix gekommen bist :(

---

Schreibe dir mal folgende beiden Zeilen ausführlich auf

$$\begin{pmatrix} a_n\\a_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -12 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_{n-1}\\a_n \end{pmatrix}$$

Answer 3

Hallo Fragesteller,

du solltest fairerweise erwähnen, dass du auch in einem anderem Forum (dessen Namen ich hier wegen diverser Löscheinstellungen nicht nennen werde) die Frage gestellt und Antworten erhalten hast.

Comments

Und, was ist daran so schlimm?:)

---

Schlimm ist, dass sich freundliche Helferinnen oder Helfer überflüssige Arbeit machen, wenn schon woanders geantwortet wurde.