Aufgabe:
Um eine Aussage der Form \( \forall x \in M: \mathbf{A}(x) \) (lies: , für alle Elemente \( x \) aus der Menge \( M \) gilt \( \left.\mathbf{A}(x)\right) \) zu beweisen, muss man \( \mathbf{A}(x) \) für alle \( x \) bestätigen. Um eine solche Aussage zu widerlegen genugt es allerdings ein Gegenbeispiel anzugeben, d.h., ein \( x \) für das \( \mathbf{A}(x) \) nicht gilt.
Um eine Aussage der Form \( \exists x \in M: \mathbf{A}(x) \) (lies: "es existiert ein Element \( x \) aus der Menge \( M \) fur das \( \mathbf{A}(x) \) gilt" ) zu beweisen, genügt es ein Beispiel anzugeben. Um eine solche Aussage zu widerlegen muss man zeigen, dass \( \mathbf{A}(x) \) fur alle \( x \) falsch ist.
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
(a) \( \forall n \in \mathbb{N}: \) n ist eine Primzahl
(b) \( \forall n \in \mathbb{Z}: n(n+1)(n+2) \) ist durch 3 teilbar.
(c) \( \forall a \in \mathbb{Q} \exists b \in \mathbf{Q}: a b=1 \)
(d) \( \exists a, b \in \mathbb{N}: a^{2}+b^{2}=6 \)
(e) \( \forall \epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon>0: \exists N \in \mathbb{N}, N>0: \forall n \in \mathbb{N}, n>N: \frac{1}{n}<\epsilon \)
Hinweis: Drücken Sie \( n \) fur beliebiges \( \epsilon \) durch \( \epsilon \) aus, um ein geeignetes \( N \) zu finden.
4d): Meiner Meinung nach kann das nicht stimmen wenn a,b Element aus den Natürlichen Zahlen sein soll. Ich soll die gegebene Aussage jetzt widerlegen und zeigen, dass es für alle a,b falsch ist. Wie macht man das? So wie bei der vollständigen Induktion nur, dass man hier eben etwas widerlegt anstatt beweist?
