Gram-Schmidt Orthonormalisierungsverfahren gibt falsche Antwort, warum?

Question

Wenn ich eine Orthonormalbasis von zwei Vektoren v₁ = \( \begin{pmatrix} -2\\1\\0 \end{pmatrix} \), v₂ =  \( \begin{pmatrix} -3\\0\\1 \end{pmatrix} \) bestimme,

w₁ = v_{1 ,}

_e1 = v_{1 /} ||v1||

w₂ = v₂ - ⟨w₁, v₂⟩/⟨w₁,w₁⟩ . w₁

e₂  = w₂ / ||w₂||  gibt die richtige Antwort, Orthonormalbasis= {e₁,e₂}. e₁ = 1/\( \sqrt{5} \) \( \begin{pmatrix} -2\\1\\0 \end{pmatrix} \)  , e₂ = 1 / \(\sqrt{70}\)\( \begin{pmatrix} -3\\-6\\5 \end{pmatrix} \)

Aber wenn ich(Gram-Schmidt Orthonormalisierungsverfahren)

e₁ = v₁ / ||v₁||

w₁ = v₂ - ⟨e₁,v₂⟩ e₁

e₂ = w₁ / ||w₁||

gibt e₁ = 1/\( \sqrt{5} \) \( \begin{pmatrix} -2\\1\\0 \end{pmatrix} \) aber e₂ 5/\( \sqrt{34} \)  \( \begin{pmatrix} -3/5\\0\\1 \end{pmatrix} \). Also e₂ ist falsch.

Tue ich etwas falsches? Was ist dasProblem?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Bei mir kommt Gram/Schmitt richtig herum

https://www.geogebra.org/m/mcxn9nd9

Rechenfehler?

Comments

weil bei Gram‐Schmidt ⟨e1,e2⟩ ≠ 0 und||e₂|| ≠ 1 ist,gibt es kein Orthonormalbasis.

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Ich wüßt jetzt nicht, was dagegen spricht die Vektoren so hin zudrehen UND zu normieren das sie eine Orthonormalbasis bilden.

Du mußt natürlich einen Vektor e3 dazu nehmen, etwa e3=e1⊗e2

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so nur gram schmidt ist nicht genug um eine Orthonormalbasis zu finden?

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Wie lautet denn die original Aufgabenstellung?

Ich bin davon ausgegangen die Basis zu komplettieren, weil R^3. Wenn das nicht gefordert ist, kannst Du natürlich nach e1,e2 aufhören :

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@wächter Cooles GeoGebra-Tool, habe es hier zur Visualisierung herangezogen, bin bei der Recherche darauf gestoßen!

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Sei U = { \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ∈ ℝ³ | x₁ + 2x₂ +3x₃ = 0 } ein UV von R³ gegeben.

Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von U.

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Ja, ok, dann genügt e1,e2 zu richten - also mit Ebene dann

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aber sie sind nicht orthonormal zueinander

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o1,o2 nach Gram/Schmitt schon....

Answer 2

Tue ich etwas falsches?

Nein. Aber dass was du tust, tust du falsch.

Vermutlich hast du dich bei der Bestimmung von w₁ verrechnet.

Zur Kontrolle:

        ⟨e₁,v₂⟩ = \(\begin{pmatrix} \frac{-2}{\sqrt{5}}\\\frac{1}{\sqrt{5}}\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -3\\0\\1 \end{pmatrix}\) = \(\frac{6}{\sqrt{5}}\)

und somit

        ⟨e₁,v₂⟩e₁ = \(\frac{6}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} -2\\1\\0 \end{pmatrix} = \frac{6}{5}\begin{pmatrix} -2\\1\\0 \end{pmatrix}\)