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Wahr oder falsch?
Im Folgenden sind \( f \) und, für \( n \in \mathbb{N}, f_{n} \) Abbildungen \( D \rightarrow \mathbb{R} \) und \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \) Fragenblock:
\( \left(f_{n}\right)_{n} \) gleichmäig gegen \( f, \) so ist \( f \) lipschitzstetig auf \( D=[a, b] \)
2. Ist \( f_{n}(x)=\frac{n x^{2}}{1+n x^{2}}, \) so konvergiert die Folge \( f_{n} \) punktweise auf \( \mathbb{R} \).
Fragenblock:
3. Ist \( s \) der größte Häufungspunkt der Folge \( a_{n} \), so gibt es nur endlich viele Folgenglieder die gröber als \( s+1 \) sind.
4. Ist \( s \) der größte Häufungspunkt der Folge \( a_{n} \), so gibt es nur endlich viele Folgenglieder die kleiner als \( s-1 \) sind.
5. Ist \( K \) eine kompakte Teilmenge von \( \mathbb{R} \) und \( \left(a_{n}\right)_{n}, \) mit \( a_{n} \in K \) für alle \( n, \) eine in [ \( \mathbb{R} \) konvergente Folge so gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \in K \).
6. Jede in \( x_{0} \) differenzierbare Funktion \( f \) ist auch stetig in \( x_{0} \).
7. Die Exponentialfunktion \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \exp (x) \) ist monoton wachsend.
8. Jede differenzierbare beschränkte Funktion besitzt ein lokales Maximum.
9. Die Potenzreihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2^{n}} \) konvergiert für alle \( x \in \mathbb{R} \) absolut.
10. Die Potenzreihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(-1)^{n}} \) konvergiert für alle \( |x|<1 \) absolut. 1
11. Die Abbildung \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto f(x):=|x| \) ist stetig in \( x_{0}=0 \). 1
12. Die Abbildung \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto f(x):=|x| \) ist differenzierbar in \( x_{0}=1 \)
