Zeigen Sie, dass Β = (v1, v2) und B' = (w1, w2) Basen von IR2 sind.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Vektoren v1 = (1, 1), v2 = (1, −1), w1 = (2, 0) und w2 = (−1, −2) in IR².
(a) Zeigen Sie, dass Β = (v1, v2) und B' = (w1, w2) Basen von IR² sind.
(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix M^B_B' (id_IR² ) der identischen Abbildung von R².

Answer 1

Hallo,

a) Da \(\det(v_1,v_2)=-2\neq 0\) und \(\det(w_1,w_2)=-4\neq 0\) bilden sowohl \(v_1\) und \(v_2\) als auch \(w_1\) und \(w_2\) eine Basis des \(\mathbb{R}^2\). Falls du das mit nicht mit der Determinante zeigen kannst, kannst du auch zeigen, dass die Vektoren jeweils keine Vielfache voneinander sind.

b) Es gilt \(M^{B}_{B'}(\operatorname{id}_{\mathbb{R}^2})=(_{B'}\operatorname{id}_{\mathbb{R}^2}(v_1), _{B'}\operatorname{id}_{\mathbb{R}^2}(v_2))\). Es gilt:$$\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}=\alpha \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix} -1\\-2 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} \alpha=\frac{1}{4} \\ \beta=-\frac{1}{2}\end{cases}$$$$\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}=\alpha \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix} -1\\-2 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases}\alpha =\frac{3}{4} \\ \beta =\frac{1}{2}\end{cases}$$ Also insgesamt $$M^{B}_{B'}(\operatorname{id}_{\mathbb{R}^2})=(_{B'}\operatorname{id}_{\mathbb{R}^2}(v_1), _{B'}\operatorname{id}_{\mathbb{R}^2}(v_2))=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$