Additionssätze Funktionswert

Question

Aufgabe:

Die beiden Winkel \( \alpha \) und \( \beta \) liegen zwischen \( 90^{\circ} \) und \( 180^{\circ} . \) Es gilt: \( \sin \alpha=\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} \) und \( \cos \beta=-\frac{1+\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \).
Bestimmen Sie den Funktionswert der folgenden Funktion, ohne die beiden Winkel \( \alpha \) und \( \beta \) zu berechnen.
$$ \sin (\alpha+\beta)= $$

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen, was ist der Funktionswert hier in dem Fall?

Answer 1

SIN(a) = (√3 - 1)/(2·√2)
COS(a) = - √(1 - ((√3 - 1)/(2·√2))^2) = - √2·(√3 + 1)/4

COS(b) = - (1 + √3)/(2·√2)
SIN(b) = √(1 - (- (1 + √3)/(2·√2))^2) = √2·(√3 - 1)/4

SIN(a + b) = SIN(a)·COS(b) + COS(a)·SIN(b)
SIN(a + b) = ((√3 - 1)/(2·√2))·(- (1 + √3)/(2·√2)) + (- √2·(√3 + 1)/4)·(√2·(√3 - 1)/4) = - 1/2

Answer 2

Verwende das sog. Additionstheorem

$$ \sin (\alpha+\beta)= \sin (\alpha)*\cos (\beta)+\cos (\alpha)*\sin (\beta)$$

und setze dann die Werte ein. cos(α) und sin (ß) bekommst du

aus den gegebenen Werten und der Formel sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1

und der Kenntnis, dass die Winkel zwischen 90° und 180° liegen,

also cos negativ und sin positiv ist.

Für cos(α) bekomme ich da -√(√3)+2)/2.

Answer 3

Text erkannt:

\( \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets