Wie sind q und p gewählt, damit a_n konvergiert mit Grenzwert a_n=1?

Question

Gegeben sei die reelle Zahlenfolge (a_n)_n∈ℕ mit

a_n= 3n²  + 2n^p +2 / 6n + n^q +2n²

für zwei Parameter p,q ∈ℕ. Wie müssen p und q gewählt werden, damit (a_n)_n∈ℕ konvergiert mit

Grenzwert lim_{n→unendlich} a_n=1  ?

Es muss q=            und p <       gelten

Kann mir jemand sagen wie ich das zu berechnen habe ?

Ich habe die Lösung zwar vor mir, jedoch verstehe ich nicht wie das ganze gekürzt wurde und das Ergebnis von q = 2 ist und p kleiner 2 ist ...

Answer 1

Hallo,

wähle \(q=2\) und und \(p<2\). Klammere, um dies nachvollziehen zu können, \(n^2\) im Zähler und Nenner aus.$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n^2+2n+2}{6n+n+2n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\color{red}{3}n^2+2n+2}{6n+\color{red}{3}n^2}=\frac{3}{3}=1$$ In der Grenzwertbetrachtung, bei denen sowohl im Zähler und im Nenner ein Polynom von gleichem Grad ist, ist der Grenzwert gegeben durch den Quotienten des Leitkoeffizienten des Zähler- bzw. Nennerpolynoms.