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Aufgabe:

Rekursiv gegebene Zahlenfolge


Problem/Ansatz:

blob.png,

Wie muss q gewählt werden, damit die Folge zum Grenzwert 17/2 konvergiert?


Meine Überlegung:

x2=7x+q ,wobei 2 eine Lösung ist.


Leider bin ich mir wirklich unsicher, was diese Aufgabe angeht.


Danke für alle Tipps!


Text erkannt:

\( x_{0}=2 \) und \( x_{n}:=\sqrt{7 \cdot x_{n-1}+q} \)

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Beste Antwort

Wenn es einen Grenzwert g hat, dann gilt wegen der

Rekursion g = √(7g+q)

Wegen g=17/2 also

 17/2 = √(119/2+q)

==>  289/4 = 119/2+q

==>  12,75 = q

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Aloha :)

Wenn \((x_n)\) gegen einen Grenzwert \(x\) konvergiert, dann konvergiert auch \((x_{n+1})\) gegen diesen Grenzwert \(x\). Daher ist deine Überlegung richtig, die folgende quadratische Gleichung zu lösen:

$$x^2=7x+q\implies x^2-7x-q=0\implies x_{1;2}=\frac72\pm\sqrt{\frac{49}{4}+q}$$Eine dieser beiden Lösungen soll nun \(\frac{17}{2}\) sein. Dazu muss \(\frac72\) vergrößert werden, sodass nur die positive Wurzel möglich ist:

$$\frac{17}{2}=\frac72+\sqrt{\frac{49}{4}+q}\implies 5=\sqrt{\frac{49}{4}+q}\implies25=\frac{49}{4}+q\implies q=\frac{51}{4}$$

Avatar von 152 k 🚀

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