Wie muss q gewählt werden, damit die Folge zum Grenzwert 17/2 konvergiert?

Question

Aufgabe:

Rekursiv gegebene Zahlenfolge

Problem/Ansatz:

,

Wie muss q gewählt werden, damit die Folge zum Grenzwert 17/2 konvergiert?

Meine Überlegung:

x²=7x+q ,wobei 2 eine Lösung ist.

Leider bin ich mir wirklich unsicher, was diese Aufgabe angeht.

Danke für alle Tipps!

Text erkannt:

\( x_{0}=2 \) und \( x_{n}:=\sqrt{7 \cdot x_{n-1}+q} \)

Answer 1

Wenn es einen Grenzwert g hat, dann gilt wegen der

Rekursion g = √(7g+q)

Wegen g=17/2 also

 17/2 = √(119/2+q)

==>  289/4 = 119/2+q

==>  12,75 = q

Answer 2

Aloha :)

Wenn \((x_n)\) gegen einen Grenzwert \(x\) konvergiert, dann konvergiert auch \((x_{n+1})\) gegen diesen Grenzwert \(x\). Daher ist deine Überlegung richtig, die folgende quadratische Gleichung zu lösen:

$$x^2=7x+q\implies x^2-7x-q=0\implies x_{1;2}=\frac72\pm\sqrt{\frac{49}{4}+q}$$Eine dieser beiden Lösungen soll nun \(\frac{17}{2}\) sein. Dazu muss \(\frac72\) vergrößert werden, sodass nur die positive Wurzel möglich ist:

$$\frac{17}{2}=\frac72+\sqrt{\frac{49}{4}+q}\implies 5=\sqrt{\frac{49}{4}+q}\implies25=\frac{49}{4}+q\implies q=\frac{51}{4}$$