Wertebereich / Definitionsbereich der Funktion

Question

Ich hab folgende Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f : lR  D --> W c lR mit x  l---> f(x) = Wurzel(16 - x^4)

(a) Bestimmen Sie zunächst für W = lR den maximalen Definitionsbereich D
von f.
(b) Schränken Sie für D aus (a) den Wertebereich W so ein, dass f surjektiv wird.
(c) Schränken Sie nun für W aus (b) den Definitionsbereich D so auf D' ein,
dass die neue Funktion g : lR  D' ---> W c lR mit x --> y = f(x) = Wurzel(16 - x^4)
bijektiv ist und geben Sie die Umkehrabbildung g^-1 an.


ich denke ich verstehe in etwa was von mir gewollt ist, allerdings hab ich keinen Schimmer wie ich das niederschreiben soll? Wäre dankbar wenn jemand mir eine Lösung zeigen könnte! Liebe Grüße

Answer 1

(a) Bestimmen Sie zunächst für W = lR den maximalen Definitionsbereich D
von f.

Du darfst alles für x einsetzen, solange der Term unter der Wurzel nicht negativ wird.

16 - x^4 ≥ 0
-2 ≤ x ≤ 2

D = [-2 ; 2]

(b) Schränken Sie für D aus (a) den Wertebereich W so ein, dass f surjektiv wird.

Jetzt soll man den Wertebereich so einränken das nur Elemente in W sind, die auch als Funktionswerte angenommen werden.

W = [0 ; 4]

(c) Schränken Sie nun für W aus (b) den Definitionsbereich D so auf D' ein, dass die neue Funktion g : lR  D' ---> W c lR mit x --> y = f(x) = Wurzel(16 - x⁴) bijektiv ist und geben Sie die Umkehrabbildung g^-1 an.

y = √(16 - x^4)
y^2 = 16 - x^4
x^4 = 16 - y^2
x = (16 - y^2)^{1/4}
y = (16 - x^2)^{1/4}

D' = [0 ; 2]