Kann man auch umschreiben bzw vereinfachen?

Question

Aufgabe:

1. Ableitung von f(x) = \( \frac{1}{2} \) ^x+1 bestimmen.

Problem/Ansatz

Ich verstehe zwar, dass, z. B. die Ableitung für f(x) = 4^x = f´(x) = ln(4) * 4^x ist. Allerdings verstehe ich es bei diesem Beispiel hier nicht. Kann man auch umschreiben bzw. vereinfachen?

Answer 1

Natürlich könntest du es umschreiben

f(x) = (1/2)^(x + 1) = 0.5^(x + 1) = 0.5 * 0.5^x

nach deiner Regel

f'(x) = 0.5 * LN(0.5) * 0.5^x

Ich schreibe es aber wieder anders

f'(x) = LN(0.5) * 0.5^(x + 1)

f'(x) = LN(1/2) * (1/2)^(x + 1)

oder auch

f'(x) = LN(2^{-1}) * (1/2)^(x + 1)

f'(x) = - LN(2) * (1/2)^(x + 1)

f'(x) = - LN(2) * 2^(- x - 1)

Answer 2

$$f(x) = 0,5^{(x+1 )}$$$$Ln (f(x)) =(x+1)* ln(0,5)$$$$f(x) =e ^{(x+1)* ln(0,5) } $$$$f'( x)=  ln(0,5)*e ^{(x+1)* ln(0,5) } $$

Oder auch

$$f'( x)=  ln(0,5)*0,5^{(x+1 )}$$