Gleichung nach x auflösen: (x-8√x)^2 - 2(x-8*√x) = 63

Question

Wie kann man die Gleichung nach auf x auflösen:

\( (x-8 \sqrt{x})^{2}-2(x-8 \sqrt{x})=63 \)

Ansatz:

Hab mir gedacht, das (x-8√x) substiturieren könnte mit n

n^2_- 2n = 63

Von da an komme ich leider nicht mehr weiter.

Answer 1

 n^2_- 2n = 63               Bsp. quadr. ergänzen (Ziel: Binom links. |+1

n^2 - 2n + 1 = 63 +1             

(n-1)^2 = 64          |√

(n-1) = ± 8

n = 1 ± 8

n1 = 9

n2 = -7

nun rücksubstituieren. Das kannst du jetzt wohl selbst.

Rücksubst:

1.     x - 8√x = 9

und 

2.      x - 8√x = -7 

Subst. √x = u, d.h. dann x = u^2

1.    u^2 - 8u - 9 = 0

(u+1)(u-9) = 0            

u1 = -1, u2 = 9

nur 9 kommt als √x in Frage. 9 = √x ==> x = 81

2. u^2 -8u + 7 = 0

(u-7)(u-1) = 0

u1 = 7, u2= 1

7=√x ==> x=49

1=√x ==> x = 1

Also Kandidaten für die Lösungsmenge: x1 = 81, x2=49, x3=1

Nun noch in die urspr. Gleichung einsetzen und aussortieren.

(x-8√x)² - 2(x-8*√x) = 63

(81-8√81)² - 2(81-8*√81) =

(81 - 72)^2 -2*(81 -72)

=9^2 - 18 = 81 -18 = 63 ok

(49-8√49)² - 2(49-8*√49)

= (49-56)^2 - 2(49-56)

49 -2(-7)= 49 + 14= 63ok.

(1-8√1)² - 2(1-8*√1) =

49 + 14 = 63 ok.

L={1,49,81}

Comments

aber nun habe ich ja zwei lösungen ich dachte ich brauch aber nur eine.


was mach ich den nur mit den zwei Lösungen?

Sorry, aber blick da gerade null durch.

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Deine Gleichung hat sogar 3 reelle Lösungen. (vgl. oben)

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Lu hat den Ausdruck x - 8·√x mit n substituiert. Jetzt musst du die Klammer also gleich der Lösung setzen

x - 8·√x = 9
x = 81

x - 8·√x = -7
x = 49 ∨ x = 1

Man erhält daher die Lösungen

x = 1, x = 49 und x = 81

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@Mathecoach: Danke für die übersichtliche Aufstellung.