Ist das die Erklärung für b^{x}= e^(ln{b}*x)

Question

Aufgabe: Warum funktioniert $$b^{x}= e^{\log_{e}{b}*x}$$

Problem/Ansatz:

Es ist etwas, was ich mir selber erklären wollte und wollte prüfen ob mein Gedankengang diesbezüglich korrekt ist oder ob generell etwas anderes Ursache dafür ist, dass es funktioniert?

Es gilt ja (Habe ich mir noch nicht herleiten können):

$$\log_{b}{a}=\frac{\ln{a}}{\ln_{}{b}}$$

Zudem: $$b^{x}=f(x)$$

d.h der Logarithmus von $$b^{x}$$, (Ich hoffe, ich schreibe das mathematisch korrekt/nachvollziehbar)

ist: $$\log_{b}{f(x)}=x$$

Mit oben genanntem Umwandlungssatz bedeutet dies:

$$\frac{\ln{f(x)}}{\ln{b}}= x | (*\ln{b}) \text{Nenner raus }$$

Also:

$$\ln{f(x)}=x*\ln{b}$$

ist nichts anderes als:

$$e^{\ln{b}*x}=f(x)$$

Ist das so in etwa korrekt?

Answer 1

Aloha :)

Eine Funktion und ihre Umkehrfunktion heben ihre Wirkung gegenseitig auf, daher gilt:$$a^b=\exp(\ln(a^b))$$Mit dem Logarithmusgesetz \(\ln(a^b)=b\ln(a)\) wird daraus:$$a^b=\exp(b\ln(a))=e^{b\ln a}$$

Comments

Klingt sinnig. Also ist meine Schlussfolgerung Quatsch? :,D

Vielen Dank erstmal