Konvergiert die Zahlenfolge gegen 2?

Question

Aufgabe:

an= 2-1/n

Beweise, dass diese Zahlenfolge konvergent ist.

Stimmt es, dass die Zf. gegen 2 konvergiert?

Answer 1

Ja das stimmt. (1/n)_n∈ℕ ist ein Nullfolge.

Answer 2

Text erkannt:

\( a_{n}=2-\frac{1}{n}=\frac{2 n-1}{n} \)
Mit Hospital:
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2 n-1}{n} \rightarrow \frac{2}{1}=2 \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

Answer 3

Aloha :)

Wir nehmen an, \(2\) wäre der Grenzwert der Folge \(a_n=2-\frac{1}{n}\). Dann muss für jedes beliebig (aber fest) gewählte \(\varepsilon>0\) gelten:$$\left|a_n-2\right|<\varepsilon\quad\text{für fast alle }n\in\mathbb N$$Für fast alle \(n\) bedeutet, dass die Ungleichung für alle \(n\) gilt, die größer als ein bestimmtes \(n_0\in\mathbb N\) sind. Dieses \(n_0\) darf dabei von \(\varepsilon\) abhängen.

Im vorliegenden Fall wählen wir also \(\varepsilon>0\) beliebig, definieren \(n_0:=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\) und finden:$$\left|a_n-2\right|=\left|2-\frac{1}{n}-2\right|=\left|-\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}<\varepsilon\quad\text{für alle }n>n_0$$Damit ist \(2\) tatsächlich der Grenzwert der Folge \(a_n\).

Answer 4

$$\lim\limits_{n\to\infty} (2-1/n)=$$

$$2-\lim\limits_{n\to\infty} 1/n=2-0$$

$$\lim\limits_{n\to\infty} (2-1/n)=2$$