Vollständige Induktion (stimmt das?)

Question

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für genügend große \( n \in \mathbb{N} \) die Ungleichung \( n !>2^{n} \) gilt. Wie groß muss \( N \) sein, damit die Ungleichung für alle \( n \geq N \) gilt?

Wenn es eines gibt, was ich nicht kann dann ist es vollständige Induktion. Könnte hier deswegen jemand bitte drüber schauen, und kontrollieren, ob das korrekt bewiesen wurde? Vielen Dank!

Induktionsanfang: 4! > 2^4

Induktionsschritt:

\( (n+1) !>2^{n+1} \)
\( 2(n+1) !>2^{n} \cdot 2 \)
\( 2 n !(n+1)>2^{n} \cdot 2 \)
es gilt von oben: \( 2 n !>2^{n} \cdot 2 \) , deshalb ist 2*n! (n+1) sicher größer als 2^n * 2

Comments

Wie kommst du von \((n+1)!>2^{n+1}\) zu \(2(n+1)!>2^n\cdot 2\)? Wenn dann gilt:

\(2(n+1)!>(n+1)!>2^n\cdot 2\)

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2^(n+1) habe ich aufgespalten in 2^n *2 dann sieht das ja aus wie meine anfängliche Gleichung nur mit dem Faktor 2 hinten dran, also multipliziere ich auch vor das (n+1)! den Faktor 2

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Du spaltest \(2^{n+1}=2^{n}\cdot 2\) ab, aber die linke Seite bleibt gleich, sonst sind die Umformungen nicht äquivalent. Du musst dann schreiben: \(2(n+1)!>2^{n+1}=2^{n}\cdot 4\), wenn du mit 2 multiplizieren willst. Sonst geht das nur bei einer Abschätzung, die du hier auch machen könntest.

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Das soll anscheinend eine Abschätzung von \((n+1)!\) auf \(2(n+1)!\) sein: \((n+1)!<2(n+1)!\)

Answer 1

Dein Induktionsschritt ist durchaus richtig: \((n+1)!>2^{n+1}\) ist nicht äquivalent zu \(2(n+1)!>2^{n}\cdot 2\), sondern zu \(2(n+1)!>2^{n}\cdot 2\cdot 2\) (wir multiplizieren mit 2 und \(2^{n+1}=2^n\cdot 2\)). Dennoch kann man natürlich nach unten abschätzen: \(2\cdot (n+1)! > (n+1)!>2^{n+1}\). Deine weiteren Schritte sind in Ordnung, egal ob mit oder ohne Abschätzen:
\(2(n+1)!=2n!\cdot (n+1) \stackrel{IV}{>}2^n\cdot 4\) mit \(n\geq 4\).

Sauber aufgeschrieben:
IS: \(n\to n+1\):
\((n+1)!<2(n+1)!=2n!(n+1)\stackrel{IV}{>}2^n\cdot 2\), weil laut IV gilt: \(n!>2^n \iff 2n! > 2^n \cdot 2\) und \(n\geq 4\).

bzw. ohne Abschätzung:

IS: \(n\to n+1\) $$\phantom{\iff{}}(n+1)!\stackrel{!}{>}2^{n}\cdot 2\\\iff 2(n+1)!\stackrel{!}{>}2^n \cdot 4 \\ \iff 2n!(n+1)\stackrel{IV}{>}2^n\cdot 4$$

Comments

Verstehe, wieso ist es dann allerdings hier möglich? (das Folgende habe ich aus dem Youtube Video eines Mathe Profs, der dieselbe Aufgabenstellung behandelt)

(n+1)! = (n+1) * k! > (n+1) * 2^n

Ist das nicht genau dasselbe (falsche) Prinzip wie bei mir?

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Welche Aussage soll in deinem Beispiel bewiesen werden?

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wie es oben im Screenshot steht, also: n! > 2^n für n größer gleich 4

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Das kann dadurch sein, dass der Professor gleich noch nach unten abgeschätzt hat, weil sehr eindeutig/trivial. Im Endeffekt sind beide Beweise gültig. Es ist durchaus sofort ersichtlich, dass \(2\cdot (n+1)!> (n+1)!\) ist, also ist dein Beweis in Ordnung!

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Ich würde dann aber erstmal schreiben, dass du mit \(2(n+1)!>(n+1)!\) abschätzt.

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Sauber aufschreiben würde ich das so: IS: \(n\to n+1\)

\((n+1)!<2(n+1)!=2n!(n+1)>2^n\cdot 2\), weil laut IV gilt: \(n!>2^n \iff 2n! > 2^n \cdot 2\) und \(n\geq 4\). Du möchtest ja von der linken auf die rechte Seite kommen. Das ist so besser ersichtlich. Sonst könnte man es auch so wie in meine Antwort schreiben.

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Ok! Vielen Dank für die Mühe!

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Ich habe meine Variante noch dazugepackt. Gerne und danke auch für das Beispiel des Professors.

Answer 2

Für N=4

n≥N n!>2^n

3!=6<8=2^3

Ind.Anfang$$4!=24>16=2^4$$

Ind.Annahme

$$n!>2^n$$$$n!*2>2^{(n+1)}$$$$n!*(n+1)>2^{(n+1)}$$$$(n+1)!>2^{(n+1)}$$

Ind. Schluss

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dankeschön!!