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Wie berechne ich

g○f

f○g

f○(g○f)

g○(f○g)


Wenn ich das an einem beispiel rechnen muss dann weiß ich nicht vorgehen muss

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Habe noch ein Beispiel zu meiner Antwort hinzugefügt. Ich hoffe das macht es verständlicher.

Durch das Update von Mathjax auf Katex wurde meine Antwort nicht mehr richtig angezeigt. Das ist jetzt behoben.

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$$\begin{aligned}(g \circ f)(x) &= g(f(x))\\ (f \circ g)(x)&= f(g(x))\\(f\circ(g\circ f))(x)&=f(g(f(x)))\\(g\circ(f\circ g))(x)&=g(f(g(x)))\end{aligned}$$

Beispiel: Seien \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) mit \(f(x)= x^2\) und \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) mit \(g(x)= -x\). Dann ist $$\begin{aligned}(g \circ f)(x) &=g(f(x))&&=g(x^2)&&&&=-x^2\\(f \circ g)(x)&=f(g(x))&&=f(-x)&&&&=x^2\\(f\circ(g\circ f))(x)&=f(g(f(x)))&&=f(g(x^2))&&=f(-x^2)&&=x^4\\(g\circ(f\circ g))(x)&=g(f(g(x)))&&=g(f(-x))&&=g(x^2)&&=-x^2 \end{aligned}$$ für alle \(x \in \mathbb{R}\).

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