Bestimme den Scheitelpunkt von f

Question

Aufgabe:

Bestimme den Scheitelpunkt von f

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand anhand der Beispielaufgabe erklären was zu tun ist?

Nicht böse gemeint, aber bitte verständlich. Ich möchte verstehen was ich tun muss :-)

f(x)=x²-x+4

und/oder

f(x) = x² + bx + c

Answer 1

Den Scheitelpunkt findet man am besten, indem man folgenden Satz verwendet:

f(x)=(x-A)²+B hat den Scheitelpunkt (A|B).

Allgemein: f(x) = x² + bx + c

f(x) = x² + bx +b²/4+ c - b²/4

f(x) = (x+b/2)²+c-b²/4.

Dann ist (-b/2|c-b²/4) der Scheitelpunkt.

Speziell: f(x)=x²-x+4

f(x)=x²-x+1/4+4 - 1/4

f(x)=(x-1/2)²+3,75.

Dann ist (1/2|3,75) der Scheitelpunkt.

Comments

wo kommt denn die 4 her?

---

Also ich meine natürlich die 4 bei der ersten Funktion ;-)

---

Die stammt aus f(x)=x²-x+4. Oder meinst du die 4 in 1/4?

---

ich meine die 4 bei der ersten Funktion. Wo kommt diese her?

---

Die Vorzahl von x ist b. Daraus macht man die sogenannte quadratische Ergänzung (halbieren und quadrieren): (b/2)²=b²/4.

Answer 2

Bringe \( x^2 - x +4 \) auf die Scheitelpunktform \( (x-x_0)^2 +y_0 \) mittels quadratischer Ergänzung. Die Funktion \( x^2 - x + 4 \) ist eine nach oben geöffnete Parabel und das Minimum wird angenommen wenn der Term \( (x-x_0)^2 = 0 \) wird.

Answer 3

Scheitelpunkt von  f(x) = x^2 + bx + c

Es gibt 3 geschickte Möglichkeiten dies zu bestimmen

1. Umformung über die quadratische Ergänzung

f(x) = x^2 + bx + (b/2)^2 + c - (b/2)^2
f(x) = (x + b/2)^2 + c - (b/2)^2

Scheitelpunkt bei S(- b/2 | c - (b/2)^2)

2. Bestimmung über die Nullstellen/pq-Formel

f(x) = x^2 + bx + c
x = - b/2 ± √... <-- Hier steht dann bereits die x-Koordinate vom Scheitelpunkt. Daher brauchst du die Wurzel nicht vollständig notieren

f(-b/2) = (- b/2)^2 + b·(- b/2) + c = c - (b/2)^2

Scheitelpunkt bei S(- b/2 | c - (b/2)^2)

3. Bestimmung über die Ableitung. Erst ab Klassenstufe 10/11

f'(x) = 2x + b = 0 → x = - b/2

f(-b/2) = (- b/2)^2 + b·(- b/2) + c = c - (b/2)^2

Scheitelpunkt bei S(- b/2 | c - (b/2)^2)

Comments

Für dein konkretes Beispiel

Scheitelpunkt von f(x) = x² - x + 4

x = -p/2 = -(-1/2) = 1/2 = 0.5

f(1/2) = 1/4 - 1/2 + 4 = 3.75

Scheitelpunkt S(0.5 | 3.75)