405/4096·∑ (j=-10 bis 0) (COS(j·pi)·(3/8)^{j + 2})

Question

Aufgabe:

405/4096·∑ (j=-10 bis 0) (COS(j·pi)·(3/8)^{j + 2})
Es ist doch eine geometrische Folge, oder? Ich dachte dann an q=3/8. Oder -3/8?

Und die 405/4096 kann man auch mit in die Summe reinziehen, dachte ich. Also hinter das Summenzeichen stellen.

Ich wollte dann folgende Formel anwenden: a1*(1-q^{-10})/(1-q).

Leider kommt da bei mir 0 raus. a1 bedeutet doch, dass ich die Summe für j=-10 ausrechne, oder?

Vielen Dank schonmal!

Comments

Das ist keine geometrische Reihe. Der cosinus-Term stört dabei.

4095/4096 in die Summe zu ziehen ist keine gute Ideee, macht die Summanden nur unnötig unhandlich.

Das einfachste ist hier keine große theorie drauf los zu lassen sondern die elf Summanden schlicht hin zu schreiben. Ungefähr die Hälfte sind sowieso 0. Und dann aufsummieren und am Schluß mit dem Vorfaktor multiplizieren.

Answer 1

$$\frac { 405 }{ 4096 } \sum _{ j=-10 }^{ 0 }{ cos(j*pi){ \left( \frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ j+2 } }$$Primfaktorzerlegung ergibt: 405/4096=5*(3/8)⁴ und
für ganzzahlige j kann cos(j*pi) äquivalent ersetzt werden durch (-1)^j
also:$$=5{ \left( \frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ 4 }\sum _{ j=-10 }^{ 0 }{ { \left( -1 \right)  }^{ j }{ \left( \frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ j+2 } }$$Der Faktor (3/8)² wird aus der Summe herausgezogen:$$=5{ \left( \frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ 6 }\sum _{ j=-10 }^{ 0 }{ { \left( -1 \right)  }^{ j }{ \left( \frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ j } }$$Indextransformation:$$=5{ \left( \frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ 6 }\sum _{ j=0 }^{ 10 }{ { { \left( -1 \right)  }^{ j-10 }\left( \frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ j-10 } }$$Für ganzzahlige j ist (-1)^(j-10)=(-1)^j
Der Faktor (3/8)^-10 wird aus der Summe herausgezogen:$$=5{ \left( \frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ -4 }\sum _{ j=0 }^{ 10 }{ { { \left( -1 \right)  }^{ j }\left( \frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ j } }$$Das Produkt in der Summe wird zusammengefasst:$$=5{ \left( \frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ -4 }\sum _{ j=0 }^{ 10 }{ { \left( -\frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ j } }$$Nun stellt die Summe eine geometrische Reihe dar und kann durch die entsprechende Formel ersetzt werden:$$=5{ \left( \frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ -4 }\frac { { \left( -\frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ 11 }-1 }{ -\frac { 3 }{ 8 } -1 }$$Jetzt folgen noch ein paar Umformungen, auf die auch verzichtet werden könnte:$$=5{ \left( -\frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ -4 }\frac { { \left( -\frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ 11 }-1 }{ -1,375 }$$$$=\frac { 5 }{ -1,375 } \left( { \left( -\frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ 7 }-{ \left( -\frac { 3 }{ 8 }  \right)  }^{ -4 } \right)$$ausrechnen:$$=183,887069...$$

Comments

Wesentlich geschickter als mein Ansatz.

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Bei der Primfaktorzerlegung komme ich auf (3^4*5)/(2^11*2), weiter weiß ich nicht.

Wie komme ich dann auf 5*(3/8)^4, ohne dass ich die Lösung weiß?

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Danke für eure Antworten. Ich bin gerade auch auf die richtige Lösung gekommen, mit eurer Hilfe aber etwas anders:

Indextransformation ergibt:

405/4096 * ∑ (j=1 bis 11) (COS((j-11)*pi) * (3/8)^{j-11+2}

Bei q = -3/8:

sk = a1 * (1-q^k/1-q) * 405/4096

= COS(-10*pi) * (3/8)^{-8} * (1+(3/8)^11)/(1+(3/8)) * 405/4096 ≈ 183,89


Juhu!

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Nun, in der Mathematik muss man manchmal gewisse "Ahnungen" verfolgen.

Wenn ich den Bruch in der Summe 3 / 8 sehe und bei der Primfaktorzerlegung merke, dass der Zähler des Faktors vor der Summe den Faktor 3 mehrfach enthält, und dass der Nenner eine Potenz von 2 ist (die kennt man mindestens bis 2 ¹⁶ = 65536 auswendig), dann "ahne" ich schon, dass sich der Faktor vor der Summe als Vielfaches einer Potenz von 3 / 8 darstellen lassen wird ... und dass man das im Zusammenhang mit dem Bruch 3 / 8 in der Summe irgendwie wird ausnutzen können ...

Im übrigen: Die Primfaktorzerlegung des Faktors vor der Summe ergibt:

405 / 4095 = 5 * 3 ⁴ / 2 ¹²

Auch da sehe ich sofort, dass man dies als

= 5 * 3 ⁴ / 2 ^{3 * 4}

= 5 * 3 ⁴ / ( 2 ³ ) ⁴

= 5 * 3 ⁴ / ( 8 ) ⁴

= 5 * ( 3 / 8 ) ⁴

schreiben kann.

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Ich muss beim Taschenrechner Bogenmaß eingeben, oder?

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Ja, das ist richtig.

Answer 2

Zunächst mal hast du durch das COS(j·pi) eine alternierende Reihe. D.h. Du musst die Summe ein zwei Summanden aufteilen. Einmal mit positiven und dann mit negativem Vorzeichen

405/4096·∑ (j=-10 bis 0) (COS(j·pi)·(3/8)^{j + 2}) 
= 405/4096·∑ (j=-5 bis 0) (3/8)^{2·j + 2} - 405/4096·∑ (j=-4 bis 0) (3/8)^{2·j + 1}
= 405/4096·∑ (j=-5 bis 0) 9/64·(9/64)^j - 405/4096·∑ (j=-4 bis 0) 3/8*(9/64)^j
= 3645/262144·∑ (j=0 bis 5) (64/9)^j - 1215/32768·∑ (j=0 bis 4) (64/9)^j
= 3645/262144·1249435369/59049 - 1215/32768·19521505/6561
= 3904596245/21233664
= 183.8870693