Verschachtelte Betragsungleichung: ||x+5|-1| <= 1/2

Question

Aufgabe:

||x+5|-1| <= 1/2

Problem/Ansatz:
Ich hab keine Idee, wie ich das mit verschachtelten Beträgen mache  X.x

Letzte Aufgabe für heute :-) Aber mein Kopf ist echt Matsche xD

Answer 1

Es gibt zwei "Hauptfälle".

Fall 1: x≥-5

Die Ungleichung wird zu

|x+4|≤0,5

Betrachte nun den Fall 1a) x≥4

und den Fall 1b) x<4

Fall 2: x<-5

Die Ungleichung wird zu
|-x-6|≤0,5

Betrachte nun den Fall 2a) x≤-6

und den Fall 2b) x>-6.

Answer 2

Wenn du dir den Graphen des linken Terms ansiehst, stellst du fest, dass die entscheidenden Stellen -6,5; -5,5; -4,5 und -3,5 sind.

:-)

Answer 3

Aloha :)

Die äußere Betragsfunktion kannst du wie folgt auflösen:$$\left|\,|x+5|-1\,\right|\le\frac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad-\frac{1}{2}\le|x+5|-1\le\frac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{1}{2}\le|x+5|\le\frac{3}{2}$$Die beiden erhaltenen Ungleichungen kannst du wie folgt auflösen:

$$\frac{1}{2}\le|x+5|\quad\Longleftrightarrow\quad x+5\le-\frac{1}{2}\;\lor\;x+5\ge\frac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x\le-\frac{11}{2}\;\lor\;x\ge-\frac{9}{2}$$$$|x+5|\le\frac{3}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad-\frac{3}{2}\le x+5\le\frac{3}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad-\frac{13}{2}\le x\le-\frac{7}{2}$$Alle diese Gleichungen erfüllen folgende \(x\)-Werte:

$$-\frac{13}{2}\le x\le-\frac{11}{2}\quad\lor\quad-\frac{9}{2}\le x\le-\frac{7}{2}$$

~plot~ abs(x+5) ; 1/2 ; 3/2 ; [[-8|-2|-0,5|2]] ~plot~