Konvergenz von Folgen Uni

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Konvergenz von Folgen Uni

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Die Definition des Grenzwerts einer Folge ist:

Eine Folge $(a_n)_{n\in N}$ besitzt einen Grenzwert $A$, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ einen Folgeindex $N(\varepsilon)\in\mathbb{N}$ gibt, sodass für alle Folgeglieder $a_n$ mit $n\geq N(\varepsilon)$ die Ungleichung $\lvert a_n-A\rvert < \varepsilon$ erfüllt ist. Es ist also genau dann $A$ ein Grenzwert von $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$, wenn gilt: $$\forall \varepsilon >0 \quad\exists N(\varepsilon)\in\mathbb{N} \quad\forall n\geq N(\varepsilon) \;: \;\lvert a_n-A\rvert <\varepsilon.$$

Die Definition besagt also, dass $A$ ein Grenzwert ist, wenn für jedes Epsilon größer 0 eine Zahl $N(\varepsilon)$ gefunden werden kann, sodass für alle $n>N(\varepsilon)$ dann $\lvert a_n-A\rvert<\varepsilon $ ist. Wir müssen also zeigen, dass für jedes noch so kleine Epsilon immer ein $N(\varepsilon)$ gefunden wird, sodass alle Folgeglieder ab $N(\varepsilon)$ in dem Intervall $(A+\varepsilon, \quad A-\varepsilon)$ liegen.

Aufgabe 1:$$\begin{aligned}\left\lvert \frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}-2\right\rvert &= \frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}-\frac{2(2n^2+1)}{2n^2+1}\\&=\frac{4n^2+n+1-4n^2-2}{2n^2+1}\\&=\frac{n-1}{2n^2+1}\\&<\frac{n-1}{n^2-1}\\&=\frac{n-1}{(n-1)(n+1)}\\ &= \frac{1}{n+1}\end{aligned}$$ Also muss wegen $\lvert a_n-A\rvert <\varepsilon$ gelten: $$\frac{1}{n+1}< \varepsilon\iff n> \frac{1}{\varepsilon}-1 .$$ Beweis: Sei $N(\varepsilon)=\lfloor (1/\varepsilon)-1\rfloor\; (*)$. Folglich existiert für alle $\varepsilon>0$ ein $N(\varepsilon)=\lfloor (1/\varepsilon)-1\rfloor$ mit $\forall n> N(\varepsilon)$ mit $$\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}<\frac{1}{n+1}<\frac{1}{N(\varepsilon)+1}<\frac{1}{1/\varepsilon}=\varepsilon .$$ Demnach haben wir für jedes $\varepsilon$ ein $N(\varepsilon)$ gefunden, sodass für $n\geq N(\varepsilon)$ dann $\lvert a_n-A\rvert<\varepsilon$ gilt. $A=2$ ist also der gesuchte Grenzwert. $\quad \square$

Aufgabe 2:
Du sollst jetzt ein $N(\varepsilon)$ finden, sodass alle Folgeglieder ab diesem $N(\varepsilon)$ im Intervall $(A+1, \quad A-1)$ für $\varepsilon=1$ und im Intervall $(A+0.1;\quad A-0,1)$ für $\varepsilon =\frac{1}{10}$ liegen. Du kannst für $\varepsilon$ die jeweiligen Werte einsetzen und weißt dann, wie groß $n$ sein muss:

Für $\varepsilon=1$ gilt wegen $(*)$: $N(1)=\lfloor 1/1-1\rfloor=0<n$, also ab dem ersten Folgeglied befinden sich alle Folgeglieder in dem Intervall $(2+1, \quad 2-1)$.
Für $\varepsilon=1/10$ gilt wegen $(*)$: $N(1/10)=\lfloor 1/(1/10)-1\rfloor=10-1=9<n$, also insbesondere ab dem 10. Folgeglied variieren die Folgeglieder nur noch zwischen $(2+0,1; \quad 2-0,1)$.

Beantwortet 26 Okt 2020 von Doesbaddel

Ich habe Aufgabe 1 jetzt so gemacht, dass ich den Grenzwert mithilfe der Regel von de l'Hospital bestimmt habe. Geht das also nicht?

In der Aufgabe ist gefordert, dass du mithilfe des Epsilon-N-Kriteriums beweist, dass der Grenzwert 2 ist. Natürlich kannst du dir dafür erstmal mithilfe von L'Hospital oder mit ausklammern von $n^2$ klarmachen , dass 2 wirklich der Grenzwert der Folge ist. Danach musst du aber mit dem Epsilon-N-Kriterium weiter arbeiten, sonst ist die Aufgabe nicht erfüllt. Deine Aufgabe lautet nämlich:

Verwenden Sie obige Definition des Grenzwertes von Folgen [...], um festzustellen, dass die Folge [...] gegen 2 konvergiert.

Deshalb darfst du nicht mit L'Hospital argumentieren, sondern nur mit dem Epsilon-N-Kriterium. Setze also den vermuteten Grenzwert $A=2$ ein und schätze geeignet ab, so wie ich das gemacht habe. Dann solltest du laut Definition für jedes $\varepsilon$ ein $N(\varepsilon)$ erhalten, sodass $|a_n-A|<\varepsilon$ erfüllt ist. Das finde ich auch in meiner Antwort und deshalb weiß ich, dass $A=2$ der gesuchte Grenzwert ist!

[...] wie kommt man überhaupt auf diesen Term?

Das ist ganz einfach. Du willst ja den ganzen Bruch vereinfachen (damit du nachher einfach das $n$ finden kannst) und du darfst dabei nach unten abschätzen. Also habe ich so abgeschätzt, dass ich (n+1) aus dem Zähler mit dem Nenner kürzen kann. Dabei liegt die binomische Formel ganz nahe - denn $2n^2+1$ ist von der Form $an^2+bn+c$ und demnach ein quadratischer Term. Diesen kann man durch eine kleine Abschätzung auf $n^2-c^2$ bringen, das Ergebnis der dritten binomischen Formel. Hier also $n^2-1=(n+1)(n-1)$! Jetzt können wir (n+1) kürzen und erhalten einen viel einfacheren Bruch als vorher und man kann auch ganz einfach nach n umstellen.

Kommentiert 26 Okt 2020 von Doesbaddel

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lul · Answer 1 · 2020-10-26T11:09:15+0000

Hallo

du sollst für ε=1 usw ein N(1) angeben ab dem für alle n>N(1) gilt |an-2|<1

musst du den ausdruck auf den Hauptnenner bringen und abschätzen, übliches Mittel dazu ist Zähler vergrößern und (oder) Nenner verkleinern damit kannst du auf n/(2n^2) <ε kommen , also n>2/ε und damit N(ε)=[2/ε] also nächst größere ganze Zahl , für ε=1 und 1/10 kannst du dann N als Zahl angeben.

Gruß lul

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