Welche Seitenlänge x müssen die ausgeschnittenen Quadrate haben, damit das Volumen der Schachtel möglichst groß wird?

Question

Aufgabe:

Für die Produktion von kleinen Spielzeugschachteln stehen quadratische Pappen der Seitenlänge 20cm zur Verfügung. Die Schachteln werden in der Weise gefertigt, dass an den vier Ecken der Pappe Quadrate ausgeschnitten und die dann vorstehenden Rechtecke hochgeknickt werden. Anschließend werden die offenen Kanten verklebt. Welche Seitenlänge x müssen die ausgeschnittenen Quadrate haben, damit das Volumen der Schachtel möglichst groß wird? Wie groß ist das maximale Volumen einer derart hergestellten Schachtel?

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits die Zielfunktion, welche wie folgt lautet: max V = a² · h   und die Nebenbedingung, welche ja 20 ist, also 20=a+h+h

Nun ist mein Problem; ich weiß nicht wie ich die Nebenbedingung umstellen soll und das darauffolgende Einsetzen in die Zielfunktion als auch das maximieren.

 ☺

Answer 1

Hallo

aus 20=2h+a kannst du doch leicht a=20-2h  oder h=(20-a)/2 ausrechnen und in V einsetzen dann hast du nur noch eine Unbekannte also V(a) oder V(h) da nach x=h gefragt ist ersetze besser a.

Gruß lul

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Danke erst mal für deine Antwort.

Angenommen ich nehme jetzt

20=2h+a und stelle diese dann um zu a=20-2h dann habe ich ja noch die Unbekannte V(h), richtig?

Answer 2

V(h)=(20-2h)²·h=(400-80h+4h²)·h=400h-80h²+4h³.

Eine der beiden Nullstellen der ersten Ableitung ist die Höhe des maximalen Volumens

Answer 3

$$V(h)= (a-2h)^2*h$$

$$V(h)=4h^3-4ah^2+a^2h$$

$$a=20$$

$$V(h)=4h^3-80h^2+400h$$

$$V'(h)=12h^2-160h+400=0$$

$$h^2-40/3h+100/3=0$$

$$h_1=20/3+\sqrt{400/9-300/9}$$

$$h_1=20/3+ \sqrt{100/9} $$

$$h_1= 30/3= 10 , TP$$

$$h_2=20/3- \sqrt{100/9} $$

$$h_2=10/3≈3,33cm ; HP$$

$$V''(h)=24h-160$$

$$V''(10)=240-160>0$$

$$V''(10/3)=80-160<0$$

$$V(h)= (20-20/3)^2*10/3$$$$≈592,593cm^3$$

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Danke  schön ❤️❤️