Wie groß muss die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate gewählt werden, damit das Volumen der Schachtel …

Question

Aufgabe:

Extremwertaufgabe - nach oben geöffnete quadratische Schachtel mit Seitenlänge 18cm.

Problem/Ansatz:

Angabe: Aus jeder Ecke eines quadratischen Kartonstücks mit der Seitenlänge 18cm wird ein kleines Quadrat ausgeschnitten. Die verbleibenden Seitenteile werden aufgebogen, sodass eine (oben offene) Schachtel mit quadratischer Grundfläche entsteht. Wie groß muss die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate gewählt werden, damit das Volumen der Schachtel möglichst groß wird? Wie groß ist dieses Volumen?

Ich finde keinen richtigen Lösungsweg. Die Lösung habe ich in einem Lösungsheft, also bitte mit Lösungsweg erklären wenn möglich.

Comments

Schau mal unter deinem Beitrag auf "ähnliche Fragen".

Diese Aufgabe wurde (nur mit anderen Maßen) dutzende Male besprochen.

Answer 1

V = (18 - 2·x)·(18 - 2·x)·x = 4·x^3 - 72·x^2 + 324·x

V' = 12·x^2 - 144·x + 324 = 0 --> x = 3 (∨ x = 9 nicht im Definitionsbereich)

V = (18 - 2·3)·(18 - 2·3)·3 = 432 cm³

Answer 2

Die Seitenlänge des kleinen Quadrats sei x.

Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche ist dann 18-2x.

Das Volumen der Schachtel ist dann V(x)=(18-2x)²·x=4x3-72x²+342x.

Jetzt ist eine positive Nullstelle der ersten Ableitung die Länge des Einschnitts, damit das größte Volumen erzielt wird.

Answer 3

Aloha :)

Die Seitenlänge am Boden der Schachtel beträgt \((18-2x)\), die \(2x\) werden deswegen abgezogen, weil ja links und rechts ein Strück eingeschnitten und hochgeklappt wird. Die Höhe der Schachtel beträgt \(x\). Das heißt für das Volumen:$$V(x)=x\cdot(18-2x)^2=x\cdot4(9-x)^2=x\cdot4(81-18x+x^2)$$$$\phantom{V(x)}=324x-72x^2+4x^3$$Kandidaten für Extremwerte finden wir durch Nullsetzen der Ableitung:$$0\stackrel!=V'(x)=12x^2-144x+324=12(x^2-12x+27)=12(x-3)(x-9)$$Wir haben also 2 Kandidaten für ein Extremum gefunden: \(x=3\) und \(x=9\). Der letzte Kandidat \(x=9\) macht keinen Sinn, weil wir dann so weit eingeschnitten hätten, dass keine Schachtel mehr entsteht. Also ist die gesuchte Lösung \(x=3\). Das Volumen ist dann:$$V_\text{max}=V(3)=3\cdot(18-2\cdot3)^2=3\cdot12^2=432$$