Zeigen dass, jeder Punkt von k die besagte Eigenschaft hat.

Question

Aufgabe: ea gilt der folgende:

Der g.O aller Punkte P, von denen aus man eine Strecke AB unter einem rechten Winkel sieht, ist der Kreis k mit der Strecke AB als Durchmesser( der sog. Thaleskreis über AB)

Problem/Ansatz: Beweise den Satz. Zeigen dass, jeder Punkt von k die besagte Eigenschaft hat.

2) jeder Punkt, der nicht zu k gehört, die besagte Eigenschaft nicht hat.

Answer 1

Lege die Punkte A und B in ein kartesisches Koordinatensystem,

dessen 0-Punkt der Mittelpunkt von AB ist und A und B liegen auf der

x-Achse. Dann gibt es ein k>0  mit A(-k;0) und B=(k;0)

Sei nun C= (x,y) und CA ⊥ CB also

CA * CB = 0 also mit Koordinaten

$$\begin{pmatrix} x+k\\y \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x-k\\y \end{pmatrix}=0$$

$$(x+k)*(x-k) + y^2 = 0 $$

$$x^2 - k^2 + y^2 = 0 $$

$$x^2 + y^2 = k^2 $$

Also ist die Länge des Vektors 0C gleich k, also

gleich dem Radius des Kreises um 0 durch A und B.

==> C liegt auf dem Thaleskreis.