Grenzwert bestimmen Wurzeln

Question

Aufgabe:

\( c_{n}=n(\sqrt{n}-\sqrt{n-2}) \)

ich soll hiervon den Grenzwert bestimmen und hab da mal angefangen, bin aber jetzt hier steckengeblieben. Kann jemand bitte aushelfen?

\( \frac{n(\sqrt{n}-\sqrt{n-2}) \cdot(\sqrt{n}+\sqrt{n-2})}{\sqrt{n}+\sqrt{n-2}} \)
\( \frac{\left(\sqrt{n^{3}}-\sqrt{n^{3}-2 n^{2}}\right) \cdot\left(\sqrt{n^{3}}+\sqrt{n^{3}-2 n^{2}}\right)}{\sqrt{n^{3}+\sqrt{n^{3}-2 n^{2}}}} \)
\( \frac{=n^{3}-\left(n^{3}-2 n^{2}\right)}{\sqrt{n^{3}+\sqrt{n^{3}-2 n^{2}}}}=\frac{2 n^{2}}{\sqrt{n^{3}+\sqrt{n^{3}-2 n^{2}}}} \)

(Die Wurzel bei n^3 sollte natürlich nicht über die gesamte andere Wurzel gehen, ich weiß nur leider nicht wie ich das umändere)

Comments

Lass den Faktor n draußen!!!

Dein Fehler ist, ihn in BEIDE Wurzeln reinzuziehen.

Answer 1

Aloha :)

$$c_n=n\left(\sqrt n-\sqrt{n-2}\right)=n\left(\sqrt n-\sqrt{n-2}\right)\cdot\frac{\sqrt n+\sqrt{n-2}}{\sqrt n+\sqrt{n-2}}=n\frac{n-(n-2)}{\sqrt n+\sqrt{n-2}}$$$$\phantom{c_n}=n\,\frac{2}{\sqrt n+\sqrt{n-2}}=n\,\frac{2}{\sqrt n\left(1+\sqrt{1-\frac{2}{n}}\right)}=\frac{2\sqrt n}{1+\sqrt{1-\frac{2}{n}}}>\sqrt n\to\infty$$