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Aufgabe:

cn=n(nn2) c_{n}=n(\sqrt{n}-\sqrt{n-2})

ich soll hiervon den Grenzwert bestimmen und hab da mal angefangen, bin aber jetzt hier steckengeblieben. Kann jemand bitte aushelfen?

n(nn2)(n+n2)n+n2 \frac{n(\sqrt{n}-\sqrt{n-2}) \cdot(\sqrt{n}+\sqrt{n-2})}{\sqrt{n}+\sqrt{n-2}}
(n3n32n2)(n3+n32n2)n3+n32n2 \frac{\left(\sqrt{n^{3}}-\sqrt{n^{3}-2 n^{2}}\right) \cdot\left(\sqrt{n^{3}}+\sqrt{n^{3}-2 n^{2}}\right)}{\sqrt{n^{3}+\sqrt{n^{3}-2 n^{2}}}}
=n3(n32n2)n3+n32n2=2n2n3+n32n2 \frac{=n^{3}-\left(n^{3}-2 n^{2}\right)}{\sqrt{n^{3}+\sqrt{n^{3}-2 n^{2}}}}=\frac{2 n^{2}}{\sqrt{n^{3}+\sqrt{n^{3}-2 n^{2}}}}

(Die Wurzel bei n3 sollte natürlich nicht über die gesamte andere Wurzel gehen, ich weiß nur leider nicht wie ich das umändere)

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Lass den Faktor n draußen!!!

Dein Fehler ist, ihn in BEIDE Wurzeln reinzuziehen.

1 Antwort

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Aloha :)

cn=n(nn2)=n(nn2)n+n2n+n2=nn(n2)n+n2c_n=n\left(\sqrt n-\sqrt{n-2}\right)=n\left(\sqrt n-\sqrt{n-2}\right)\cdot\frac{\sqrt n+\sqrt{n-2}}{\sqrt n+\sqrt{n-2}}=n\frac{n-(n-2)}{\sqrt n+\sqrt{n-2}}cn=n2n+n2=n2n(1+12n)=2n1+12n>n\phantom{c_n}=n\,\frac{2}{\sqrt n+\sqrt{n-2}}=n\,\frac{2}{\sqrt n\left(1+\sqrt{1-\frac{2}{n}}\right)}=\frac{2\sqrt n}{1+\sqrt{1-\frac{2}{n}}}>\sqrt n\to\infty

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